Définition. — Une équation

où ii est an paramètre variable, représente un nombre indéfini de courbes. Soient C, C les deux courbes qui correspondent aux valeurs particulières a, a -f- h du paramètre; elles se coupent en un ou plusieurs points M, M', ... Si, a restant fixe, h tend vers zéro, C tend à se confondre avec C; mais les points M, M', ?.. s'approchent de positions-limites ni, m', ..., que nous appellerons les points caractéristiques de C. Faisons maintenant varier. a; la courbe C sera remplacée successivement par chacune des lignes comprises dans l'équation 1 •

L'enveloppe des conrbes (1) est le lieu géométrique de leurs points caractéristiques. Dans le langage des infiniment petits, l'enveloppe est le lieu des intersections de chacune des courbes avec la courbe infiniment voisine.

288. Exemples. — 1° Considérons tous les cercles [flg\ Go) qui ont leur centre sur une courbe donnée K et passent par un point donné O; chacun d'eux est déterminé si Ton connaît l'abscisse de son centre. Les circonférences décrites de deux points X, X' de K comme centres et passant par O, se coupent en un second point M, symétrique de O par rapport à la ligne des centres NX'. Si Ton l'ait tendre X' vers X, la droite XN' a pour limite la tangente en X à la courbe K; donc M a pour limite le symétrique m de () par rapport à la tangente. Ainsi, l'enveloppe de tous les cercles considérés est le lieu des symétriques de O par rapport aux tangentes de la courbe K ; c'est une courbe semblable à la podaire de O relative à K.

Fig. Go.

2° Considérons l'enveloppe des droites formant avec deuxdroites fixes OX, OY des triangles de surface constante [fig. 6o). Si AB, A'B' sont deux de ces droites, et M leur intersection, les triangles MA A', M BB' sont équivalents ; comme ils ont un angle égal en M, on a

MA. MA' = MB. MB', ou