La courbe variable est souvent définie par une équation

qui renferme deux paramètres a, b liés par une relation donnée

cp(a, 6) = 0. (6)

On peut appliquer à l'équation (5) la règle qui vient d'être formulée, pourvu que l'on considère b comme une fonction de a ; donc les points caractéristiques vérifient l'équation

da <)b da la dérivée résultant de l'égalité

(Ici

à® d<D db

da db da

Si l'on élimine cette dérivée, on obtient

àf d® df df

da db db da

11 reste à éliminer <•/ el b entre les équations (5), (6) el (7).

291. Théorème. — En général, V enveloppe touche chacune des enveloppées aux points caractéristiques.

Soient x et y les coordonnées du point caractéristique M d'une courbe C de la série considérée. Le coefficient angulaire de la tangente à C en M résulte de l'équation

L'équation de l'enveloppe s'obtient en remplaçant, dans V(x, y, a) = 0, a par sa valeur tirée de Fra = 0; soit a == ®(x, y) cette valeur. En dérivant l'équation F(.v, y, ©) = 0, on trouve

F'x(<r, y, o) + F'yK y, »)y* + F'„(tf, y, »)

dx dy "

Cette égalité donne le coefficient angulaire de la tangente en M à l'enveloppe, pourvu qu'on substitue à x, y les coordonnées de M. Mais F'v(x, y, ©) est identiquement nulle puisque «p(ac, y) est la valeur de a déduite de F'a(.v, y, a) = 0; de plus, le point M satisfaisant à l'équation F'.x(œ,y,a) = 0, la valeur a = *(x,y) est celle du paramètre qui convient à la courbe C. On en conclut qu'après l'introduction des coordonnées de M les équations (8) et (9) se confondent. Donc la courbe C et l'enveloppe ont même tangente en M.

Remarque. — La théorie des enveloppes (289) et le théorème (291) sont en défaut dans certains cas particuliers, que nous n'examinons pas ici.

Applications.