Exemple. — II. Enveloppe du ne droite AH, de longueur
donnée a, qui se meut entre les axes rectangulaires OX, OY (fig: 62).
Prenons pour paramètre variable l'angle BAO = ©; comme OA - a cos ©, OB = a sin ©, l'équation de AB est
cos © sin cd
Sa dérivée par rapport à © est
.r sin cp y cos o cos2 cd sin2©
Les coordonnées du point caractéristique vérifient les équations (1) et (2); en résolvant celles-ci on trouve
x = a cos
3<p, y — a sin3 ©.
Tirons de (3) les valeurs de cos cp et sin © pour les porter dans l'égalité cos- © | - sin2 © = 1 ; l'enveloppe aura pour équation
On l'appelle hypocycloïde à quatre rebroussements ou astrbïde.
Le point caractéristique est la projection M du sommet C du rectangle OACB construit sur ()A, OB ; car l'abscisse de M est BM cos<p -= BC cos2 s> = BA cos3?.
L'enveloppe d'une droite A'B', de longueur donnée et mobile entre deux axes obliques OX', OY', est une courbe parallèle à l'hypocycloïde îi quatre rebrou ssements {fi g. 62).
En effet, soit C le point de rencontre des perpendiculaires élevées aux points A', I>' surOX', OY'. OC est le diamètre de la circonférence A', circonscrite au triangle OA'B'; connue A'B' et l'angle A/OB' sont invariables, A' a un rayon constant. Appelons A 1 n circonférence décrite de <) comme centre avec le rayon OC. Si le cercle A' est invariablement lié à la droite A'B', le mouvement continu de A'*B' entre OX' et OY' fera rouler, sans glisser, la circonférence A' sur la circonférence A : car les arcs interceptés sur A et A' entre la droite fixe OX' et la droite mobile OC sont toujours égaux entre eux, puisque l'angle au centre CI) A' de A' est double de l'angle inscrit COA' et que le rayon OC = 2DC. Cela posé, menons le diamètre Al> de A parallèle à Ali'; les droites OAr, OB' étant fixes les arcs AA', BB' sont invariables, AB est une droite de longueur constante dont les extrémités se meuvent entre les axes rectangulaires OX, OY. La distance des parallèles AB, A'B étant constante, l'enveloppe de A'B' est une courbe parallèle à Fhypocycloïde, enveloppe de AB. Le point de contact de A'B' est la projection de C, car CM est la normale à l'hypocycloïde.
294. Exemple. — III. Caustique par réflexion d'un point F par rapport à une courbe donnée A (fig. 63).
On appelle ainsi l'enveloppe des rayons réfléchis qui corres-
Fisr. 63.
pondent aux rayons lumineux émanant d'un même foyer F et tombant sur la courbe A. Si MP est symétrique du rayon FM par rapport à la normale MX, la caustique est l'enveloppe do MP quand AI parcourt A.
Soient (x, y) les coordonnées de M, (\\, y^ celles de F. Les équations de la tangente et de la normale sont
Les droites MF, MP peuvent être représentées par
u + kv = 0, w + À'i> = 0. (1)
Xelbero, An. inf., 1. 18
Les perpendiculaires abaissées d'un point quelconque de MF sur MT et MX ont le même rapport, mais changé de signe, que les perpendiculaires menées d'un point quelconque de MP ; donc ÀJ — — k> Or, si Ton exprime que les coordonnées de F vérifient la première des équations (1), on trouve zzj -f- kul ■= 0, l'indice indiquant la substitution de xlt yl à X, Y. L'équation de MP est donc
u — kv = 0, ou uvi -f- vu} = 0.
Elle renferme deux paramètres variables x, y liés par une équation donnée, celle de la courbe A. Pour obtenir l'enveloppe de MP, on opérera comme il a été indiqué (290).
Quetelet ;i donné une méthode très ingénieuse pour trouver la caustique par réflexion d'une courbe donnée A. Désignons par A' le lieu du symétrique (i <le F par rapport à une tangente MT de A. A est aussi l'enveloppe du cercle passant par F et ayant son centre en un point M de A 288. L°). Comme MP passe par G et est la normale eu (J à A', la caustique est la développée de A'.
La courbe Ar a été appelée V anticaustique de A.
295. Exemple. — IV. Enveloppe des cercles ayant pour diamètres des cordes parallèles d'une circonférence it'ig. 64).
Prenons pour axes les diamètres du cercle fixe, respectivement perpendiculaire et parallèle à la direction des cordes Si a
Fi*. 64.
et (3 sont les coordonnées d'un point M de ce cercle, la circonférence qui a pour diamètre la corde MM' est représentée par
(*-«)s + y8 = Ps;
ou, à cause de «'- -\- p2 R-, par
La dérivée de cette équation par rapport au paramètre a donne
Eliminant a entre les égalités il) et (2), on obtient, pour l'enveloppe du cercle mobile,
Cette courbe est clone une ellipse ayant pour demi-axes R i/2 et R.
La relation (2) montre que les points caractéristiques m, /zz' du cercle de diamètre MM', sont sur une droite dont la distance au point O est double de celle de MM' à ce point. Donc, si la corde NNf est le diamètre de la circonférence touchant OY en O
f l'angle XOX = - j, toute circonférence qui a pour diamètre une
corde PQ passant entre A et NX', a des points caractéristiques imaginaires.
296. Faisceau linéaire de courbes. -- Soient F(.v, y), f(x, y) deux fonctions uniformes (:|c) de x, y. L'équation
¥{x,y) + af{œ, ?/) = (),
si a est variable, est dite représenter un faisceau linéaire do courbes : Par tout point du plan il passe une courbe du faisceau, mais une seule. Toutes les courbes du faisceau ont en commun les points d'intersection des courbes définies par les équations
Ces points, d'après la définition (287), constituent l'enveloppe des courbes du faisceau. La règle générale (289; est ici en défaut; car elle donnerait, pour l'équation de l'enveloppe, /'(.y, y) = 0.
297. Faisceau du second ordre. — Si U, V, W sont des fonctions uniformes de x, y, et si a est un paramètre variable, l'équation
i*j Une fonction est dite uniforme quand à chaque système de valeurs des variables il ne correspond qu'une seule valeur de la fonction Une fonction
entière est uniforme; les fonctions xy ±V J-'" f "!/"•> V3") arc s'n x 80,lt multiformes.
définit un faisceau du second ordre : Par toul point du plan il passe deux courbes du faisceau.
L'équation de l'enveloppe est (289i
y* — UW = 0;
on l'obtient aussi en exprimant que les deux valeurs de n tirées de 1) sont égales entre elles.
