La tangente a une courbe U a pour équation

x cos a -f- y sin a = f[a), 1

r étant un paramètre variable. Trouver le rayon de courbure.

Le point de contact vérifie l'équation (289)

— x sin a \- y cos a f'(a). (2)

Celle-ci représente une perpendiculaire à la première droite, par suite la normale à F. De même, le point de contact de cette normale avec la développée U' satisfait a l'équation

— x cos a — y sin a f"(a)\ (3)

celle-ci représente la normale à la développée. Le rayon de courbure est égal à la distance des droites (1) et (3), ou à f{a) —/""(a).

16. En chaque point M d'une courbe donnée U, on mené une droite MP faisant avec la tangente MT un angle donné o; l'enveloppe de MP porte le nom de développoïde de F. Trouver le point de contact de MP.

Les équations de la tangente MT et de la normale MX (ex. 15 sont

x cos a -f- y sin a — f\a) = 0, — x sin a -f- y cos a - — f'(ji) = 0 :

du

soient u et u = — leurs premiers membres. MP, lieu des points dont le da

rapport des distances à MT et MX est égal à sin o : cos o a pour équation

u cos o — u sin o = 0.

Le point où MP touche la développoïde vérifie l'égalité

u' cos o — u" sin o = 0. (1)

Celle-ci représente une droite passant par l'intersection des droites a' = 0, a" = 0 et faisant avec la première l'angle r- : donc le point de contact de MP est sur la perpendiculaire abaissée du centre de courbure de U sur MP.

L'équation (1) représente la normale à la développoïde Si Ton cherche le point de contact de cette normale avec son enveloppe, on trouve qu'il est la projection du centre de courbure de la développée de V .

17. Enveloppe de la perpendiculaire élevée en un point M d'une parabole sur le rayon vecteur FM (antipodaire de F).

Soit A le sommet; prenons F pour pôle, FA pour axe polaire, AFM y pour paramètre variable. L'équation de la droite mobile est

T -f COS a) C0S(6 — aj On trouve pour le point caractéristique "20 — 3a ; puis pour l'enveloppe

r3C0S Ifj = f|V.

Cette courbe est la caustique par reflexion pour des rayons perpendiculaires à AF.

18. A une ellipse, on inscrit des triangles MM'M" ayant pour centre de gravité le centre de l'ellipse. L'enveloppe des cercles circonscrits a pour équation