Enveloppe des droites

x cos 3œ \- y sin 3œ « cos ©,

a étant un paramètre variable. (Cardioïdc.

20. Une droite m se meut dans son plan. On considère les trajectoires de ses différents points. Trouver : 1° l'enveloppe des normales menées à ces courbes aux points qui correspondent à nue même position de;/?: 2" l'enveloppe des tangentes en ces points; 3° le lieu des centres de courbure.

Soient a, 8) les coordonnées d'un point déterminé M0 de m, ('.\\ r celles d'un point quelconque M de m,r la distance M0M, t l'angle de m avec OX. Le mouvement de m est déterminé si y. et 3 sont des fonctions données de l'angle variable /. On a

x = a -f- r cos l, y = (3 -f- ;• sin t, x' = a' — r sin £, y} = 3' -f r cos /,

l'accent désignant une dérivée par rapport à t. Les équations de la tangente et de la normale menées en M à la trajectoire de ce point sont

(Y — p — r sin t) (a' — r sin £) — (X — a — r cos t) (p'-f r cos £) = 0; (Y — p — r sin 0 (3' + r cos/) -f- (X — a - r cos tf) (a' — r sin ^ = 0;

elles peuvent s'écrire

M -f- Nr + >'- = 0, P + Q?1 = 0.

M, X, P, Q étant des fonctions linéaires de X, Y. La tangente enveloppe la parabole N2 — 4M -=--0; la normale passe par le point d'intersection des droites P — 0, Q = 0 ; enfin, le centre de courbure vérifie les équations P -}- Qr = 0, P' + Q'r = 0, et décrit la courbe PQ' — P'Q = 0. Pr et Q' représentant les dérivées de P et Q par rapport à t.