POINTS SINGULIERS. ASYMPTOTES

Notions sur les points singuliers,

300. Définitions. — La circonférence décrite d'un point M d'une courbe comme centre avec un rayon infiniment petit (fig:, 66), coupe d'ordinaire la courbe en deux points A, B placés de telle manière que les rayons MA, MB font un angle infiniment peu différent de deux droits et tendent vers une limite commune TT', qui est la tangente menée en M à la courbe. Tel est le caractère que présentent les points ordinaires d'une courbe et môme les jjoints d'inflexion (fig. 67). Quand il en est autrement, on dit que M est un point singulier.

Fig-. 66 Fig- 6-. Fig: 68. Fig. 6g.

Voici les principales espèces de ces points :

1° La circonférence ne rencontre aucune branche de courbe, si petit que soit son rayon. M est alors un point isolé ou conjugué. On a vu des exemples de tels points dans les conchoïdes (181].

2° Si la circonférence ne rencontre la courbe qu'en un seul point (fig'. 68), M est un point d'arrêt ou de rupture. La courbe y = cosVl — xz (79) présente d^ux points d'arrêt A. A'.

3° La circonférence peut rencontrer la courbe en deux points A et B (fig. Go), tels que les rayons MA, MB font un angle fini et tendent vers des limites distinctes MT, MT\ Un tel point est dit saillant ou anguleux. Nous en avons vu un exemple 79 .

4° La circonférence coupe la courbe en deux points infiniment voisins A, B tels que les rayons MA, MB font un angle infini-

mont petit. Dans ce cas, M est un point de rebroussement, de

première ou de seconde espèce selon que les deux branches

Fie". ~o.

Fig

MA, MB sont séparées par la tangente commune [fig. ~o ou situées du même cote (fig'- 71).

5° La circonférence peut avoir plus de deux intersections avec la courbe. Ordinairement, les intersections sont en nombre pair et se font sur des rayons sensiblement opposés deux à deux. Plusieurs branches se croisent au point M avec des tangentes distinctes; M est un point double (fig. 72,», triple, quadruple, etc., suivant que deux, trois, quatre... branches y passant. La conchoïde de Nicomède et le limaçon de Pascal peuvent avoir un point double 18L.