Exemples de points singuliers
*t±(a?-2)V*-l- \flg- 73).
Fig 73.
Fig. -A-
Construisons la courbe OABC [parabole diamétrale) dont
l'équation est y = x~ ; elle divise en deux parties égales les
cordes parallèles à OY. Elle rencontre la courbe proposée aux
points A, B, qui correspondent à x.-= 1, x = 2. Comme y est
réel cà partir de x= 1, la ligne cherchée comprend deux branches
infinies BH, Bb\
L'examen de la dérivée
précise la nature des points A ei I>. Pour x 1, y* oo ; donc
la tangente en A est verticale. Pour a* = 2, on a deux valeurs
y' «=■» n ± 1, donc B est un point double. o
2° y = 3 x- ± (x — ])\'x — 2 (fig. ;4).
L'ordonnée y est réelle à partir de x = 2. Cependant l'hypothèse x = 1 donne également une valeur réelle y .„ de sorte
((lie nous obtenons un point isolé A. B est un point ordinaire; car
donc pour a* = 2, y' ~ oo et la courbe a une seule tangente BB\
y-=\x*±{x-2)\jx-2. (fig. 75).
L'ordonnée est réelle à partir de x = 2. L'abscisse x = 2
Fig-. 75.
Fig. 76.
correspond à un rebroussement de première espèce. Car ayant
on voit que la tangente se confond avec celle de la parabole diamétrale OAB, et que la courbe s'étend des deux côtés de cette droite.
y = x2{\ ± \ x i, ou y « x- ± x2. (fig. j6).
Considérons séparément les valeurs
La première donne une branche OE située au-dessus de OX : la seconde, une branche ODCA, située entre la précédente et l'axe OX dans l'intervalle (0, 1) et s'étendant indéfiniment du côté des y négatifs à partir de x — 1. De
on conclut (pie () est un point de rebrousscmcut de seconde espèce; car les deux branches <)K, ODC touchent OX.
La branche OC A présente un point maximum pour 2 — 0 1 ,v =0
ou .v = Q« ;» un point d'inflexion pour y* = 2 — X2 = 0 ou
L'équation ne change pas quand on remplace x, y par — a, — y; donc O est un centre de la courbe. Elle peut prendre la 'orme
Si i désigne un nombre positif aussi petit qu'on veut, on a
e'- = oo; par suite pour x = e, on a r = 1. La courbe a donc sur OY un point A situé à la distance OA — 1. Lorsque x croit de
£ à |-oo, y décroît de 1 a 0; il en résulte que OX es1 une asymptote. O étant un centre de symétrie, la courbe se compose de deux branches AB et A'I>(. On voit que A et A' sont deux points d'arrêt.
Cherchons la tangente en A. Soient uv, y) les coordonnées d'un point quelconque M de la branche A I> ; la droite A M a pour coefficient angulaire
ocex -\- x
Lorsque M tend vers A, la quantité xex devienl infiniment
grande; donc A "M tend à devenir parallèle à OX.
Chacune des branches AB, A'B' présente un point d'inflexion.
■ j (fig. 78).
On a déjà vu 79) que la courbe présente en O un point an guleux.
Appliquons la théorie des asymptotes (308). Pour r -£ oo,
y II y 1 1
hm li m
lim i y — -x ] = lnn \= nm s î
= hm , ^-r
la courbe a donc une asymptote représentée par?/ = X —
7° \f — x" — ()//' h 10^2 - 0. {fig. 19) (*).
(*) Lacroix, dans son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, a discuté l'équation analogue y4 — x x — 9Ga~y2 |- 100«-i'-\v- 0 et a appelé la courbe correspondante la courbe du diable, à cause de sa ressemblance avec la toupie d' Allemagne double, très bruyante, appelée diable.
OX, OY sont des axes de symétrie; () est un centre de symétrie. 11 suffit doue de considérer les valeurs positives de x, y.
L'équation donne
Pi
Fig- 79-
Les valeurs de y15 y2 sont réelles de .v = 0 ù x = 1 ; pour .v = 0, y, = i <>, y o = 0; pour x = 1 , //, = y., = i/ 8. On obtient ainsi une première partie OAHBOA'H'B' de la courbe. O étant un centre, ce point est un point double d'inflexion. Pour déterminer les tangentes en O, cherchons la limite de quand x tend
vers zéro: or, en divisant l'équation proposée par x2, on trouve
d'où, en passant à la limite pour x 0, y == 0 :
Les tangentes en () ont donc pour coefficient angulaire ± V -•
Entre x = 1 et a* = 3, l'ordonnée y est imaginaire. A partir de x = 3, y, est constamment réel ; mais t/2 n'est réel que dans
l'intervalle (3, \ 10', car le produit y'fy'i es! négatif si .vJ > 10.
On en conclut l'existence de deux branches infinies CDC, FEF'.
La courbe a pour asymptotes (*) les bissectrices des angles
des axes.
8° y = ± x-\