Points multiples des courbes algébriques. — Soit

F(.r,yj = 0 (1)

l'équation d'une courbe, F(x, y) étant un polynôme entier. Le coefficient angulaire y1 de la tangente en un point Mf.v, y) de la courbe résulte de l'égalité

oV ÙF

rjjc ' du J

Les dérivées partielles de F(.v,y; étant rationnelles, l'équa-

tion (4) donne une valeur unique i>oui- v , a moins que et

' dx oy

ne s'annulent simultanément. Or, en un point multiple il existe plusieurs tangentes; donc les coordonnées d'un tel point vérifient les trois équations

<)F dF

F{oc,y) 0, . 0, ■■ - - 0

' Ces droites ne sont pas tractées dans la figure. On trouve 308

lim *■ ' — J, lini (yx - x) = 0, pour x = oo.

Pour trouver les tangentes en ce point, nous dérivons l'équa-

tion (2); en tenant compte de l'égalité

dF

0, on obtient (103

"~'F i- •> ,PF ,/ + ',iF ,/-• - 0.

L'équation (4) donne les valeurs cherchées de y'. Si les deux racines sont réelles et inégales, on a un point double ; si elles sont réelles et égales, la courbe présente un rebroussement : enfin, un point isolé correspond à une solution des équations (3) qui rend les racines de (4j imaginaires.

L'équation (4) est illusoire quand

(),/■- Oxùij <)i/~

Co)

Dans ce cas, on a recours à la dérivée 3e de l'équation (1). Cette dérivée [103, (3)], eu égard aux relations (3; et (5), se réduit à

FF

oW

dx2dy drdy2

Si elle donne pour y' trois valeurs réelles et distinctes, le point considéré est généralement un point triple, etc.

Remarque. — La théorie précédente s'applique également à beaucoup de courbes transcendantes.

304. Exemple. y" — 2yzx + x* == 0. (fig. 8i) Les équations (3) du § 303 sont y* 2,/-> -f j* = 0, — 2y:' \ 3.x2 = 0, 4y3 — 4xy = 0.

Fig. Si.

Elles ont la solution commune x = 0, y = 0. On a

dzF r)2F (T-F 10 .,

dx2 dxdy ùy

ces dérivées sont nulles en O. Celles du troisième ordre étant

àx3