F <PF
1 dx\)y ' ' ùx<);f "
les valeurs de y', au point O, sont données par l'équation
6— 12//- -+-0.y'3 = 0; l'une d'elles est infinie, les deux autres sont égales db VA,-
L'origine des coordonnées est donc un point triple.
Ces conclusions résultent aussi de la discussion des valeurs
yx = ± \Jx(l + \/l—x), ?/2 = ± V^(l — V1— *)•
La racine yi n'est réelle que dans l'intervalle (0, 1) ; y2 est réel pour les valeurs positives de x moindres que l'unité, et pour toutes les valeurs négatives.
Lorsque x est compris entre 0 et 1, on a y\ > yi, excepté pour x = 1 qui donne y\ =•- y'1, = 1.
La courbe comprend donc deux folioles OAB, OA'B', qui ont en O une tangente commune Y Y' et deux autres OT, OT"; les valeurs négatives de x donnent deux branches infinies OC, OC'.
305. Hessien d'une courbe. — Si l'on emploie les coordonnées cartésiennes homogènes, on a, m étant le degré de F{x, y, z)9
, , ^F , ÔF ÔF
Le système (3) du § 303 peut donc être remplacé par celui-ci :
dF ôF
<)F dz
dx dy
ou en appliquant le théorème d'Euler (116), par le suivant :
xF" + ?/F" + zF" - 0,
xx ' J xy ' xz
^F" -\-yF" +zF]\ =0,
yx ' -/ yy ' yz '
xF" + i/F" + zF" — 0.
zx ' & zy ' zz
Eliminons les x, y, z qui multiplient les dérivées ; il vient
yx F"
F" xy
zy
xz
pyZ
zz
Neuberg. — An. Inf, I.
Le déterminant précédent est appelé le hessien de la courbe; désignons-le par II. Les points multiples vérifient les deux
Les points d'inflexion annulent également le hessien. Car, en un tel point, on a généralement y" = 0; or, si l'on dérive y' — — F'x : F'y on trouve
xxv x y x y ' yy *" x
Cette équation revient à
yx
mais si de la troisième ligne multipliée par m — 1, on retranche les deux premières multipliées respectivement par .y, y, on trouve en tenant compte des propriétés des fonctions homogènes.
iyx
yy
et si l'on opère de la même manière sur les colonnes du nouveau déterminant, on obtient II = 0.
a < b < c, ovule et branche parabolique; a == b < c, point isolé et branche parabolique; a <^b, b = c, ovale et branches infinies joignant l'ovale en un point double: a -= b == c, point de rebroussement.
2. y = db x'2 \ x — a, a > 0. L'origine est un point isolé; une branche parabolique commence au point (a, o); points d'inflexion.
3. y- = x2 -|- /i>4. Branches infinies: point double d'inflexion en O.
4. y- = à-*3 — .r4. Courbe pi ri forme ; rebroussement en O; points d'inflexion.
