Appliquer le § 302 à l'équation
Point triple en ().
Notions sur les asymptotes.
306. On appelle asymptote d'une brandie infinie d'une courbe, une autre courbe dont la première s'approche indéfiniment, de manière que la différence des ordonnées de ces courbes ait pour limite zéro; ou plus exactement, de manière que la distance d'un point de l'une de ces courbes à l'autre tende vers zéro.
307. Asymptotes parallèles à l'axe des y. — Lorsque pour une valeur finie x = a l'ordonnée d'une courbe devient infinie, la droite ayant pour équation x = a est une asymptote, pourvu que des valeurs réelles de y correspondent à x = a 4- h ou à x a — h, h désignant une quantité aussi petite qu'on veut.
Exemples.
lu
{fig. 82).
L'ordonnée devient infinie pour x = î, x = 3 et est réelle pour x = 1 ± h, x ----- 3 ± h ; donc les droites A'A'\ B'B", qui ont pour équation .v — 1, x = 3, sont des asymptotes.
Dans l'intervalle (0, 1), y croît constamment de 0 à oo ; lorsque
Fig. 82. Fig- 83.
le
X varie de 0 à — oo, y est négatif: à .y = — oo correspond y = 0. On trouve ainsi une première branche asymptotique de OX' et de AA\
Entre x = 1 et x = 3, y est négatif; de là, une seconde brancLe, asymptotique de A A" et de BB".
A partir de x = 3, 3' est positif et décroît constammenl de 00 à 0; la courbe a donc une troisième branche, asymptotique de BB' et de OX.
Les deux premières brandies présentent un minimum et un maximum de y pour x = T l/3. La première a un point d'inflexion, dont l'abscisse est la racine réelle de l'équation .v3 - 9x -f- 12 = 0.
90 //'- - (ûcc. 83)
Pour que y soit réel, x doit être négatif ou supérieur à 3.
Pour x = l, y2 — — 00; donc la droite A' A", qui a pour équation x = 1, n'est pas asymptote d'une branche réelle.
Pour x — 3 — £, y est imaginaire; pour x = 3 -f- e, y prend deux valeurs réelles infinies ; à x = ± 00, correspond y = 0. Donc la courbe se compose d'une branche EOE' tangente à OY et asymptotique de OX', et de deux branches infinies CD, CD', asymptotiques de BB' et de OX.
Un maximum de y2 a lieu pour x = - . - •
