Méthode de Cauchy. — Soit

y = ex -f- d (1)

l'équation d'une asymptote non parallèle à Taxe des y. L'équation de la courbe est nécessairement de la forme

y = ex -f- d + V, (2)

où V est une fonction de a* qui tend vers zéro pour .v •= + 00 ou a* = — 00. En divisant l'égalité (2) par x, on obtient

il en résulte

c = lim- 5 pour x -— ± 00. (3)

Ainsi, le coefficient angulaire d'une asymptote est la limite vers laquelle tend le rapport de l'ordonnée de la courbe a i abscisse, lorsque les deux coordonnées croissent indéfiniment en valeur absolue.

De l'équation (2', on déduit

d = y — ex — Y ;

si l'on fait croître indéfiniment la valeur absolue de a, il vient

d = lim (y — g»), pour x = ± oo.

Par suite, l'ordonnée à l'origine d'une asymptote, de coefficient angulaire c, est la l imite de y — ex, lorsque les coordonnées x, y d'un point de lu courbe croissent indéfiniment.

Exemple. — y - x siu- •

La courbe, déjà considérée ci-dessus (78). n'a pas d'asymptote parallèle à OY. Le rapport : i pour x = ± oo, a pour limite ():

il peut donc y avoir une asymptote parallèle à OX. En posant

1 sin z .

a: = -j on a y - > pour a* = ± oo ou s - 0, on trouve

y = 1. Donc la courbe a pour asymptote la droite y = 1.

308. Asymptotes des courbes algébriques. — L Soit F(a\ y) = 0 l'équation d'une courbe, le premier membre étant un polynôme entier. Supposons qu'en l'ordonnant par rapport à //, on obtienne

yvfM + i/p-V,W -h ••• + /!(*>«- o.

Si Ton écrit

f0(œ)±lf1(x) + ...-\--~fp(x) = 0,

on voit (pie l'équation est vérifiée quand on pose f0(x) — 0, = 0

ou y = oo; donc, les asymptotes parallèles à l'axe OY ont pour abscisses les racines de l'équation f0(x) =0.

IL LTne asymptote est la limite d'une tangente dont le point de contact s'éloigne indéfiniment, ou la limite d'une sécante dont deux points d'intersection avec la courbe se transportent à l'infini. De là une méthode pour trouver les asymptotes dos courbes algébriques.

Par exemple, le folium de Descartes, représenté par

aj3 | y* — ^xy = 0,

est coupé par la droite ayant pour équation y ex \ <l, en des points dont les abscisses sont les racines de

{c3 | (cjc i df — 3.v(cj; -f rf) = 0, ou ( 1 -f ç3)*3 -h 3c(cd — 1U- -|- 3tf(cd — 1 Vr |- d* = 0. •

Deux racines sont infinies quand les coefficients de x3et de .v2 sont nuls. Nous posons donc

1 [- c3 = 0, cd — 1 0 ;

d'où c = — 1, d = — 1, et l'asymptote a pour équation

C'est une asymptote osculatriee, parce qu'elle coupe la courbe en trois points situes à l'infini.

III. Appliquons cette méthode à l'équation générale de degré m :

?m(a?,y) h ?m-i (#,y) -h ... + ?oKj/) =" 0,

où çn (a*, y) désigne un polynôme homogène de degré n.

Les abscisses des points où la courbe coupe la droite y=cx-\-d sont données par

En égalant à zéro les coefficients de xm et .vm 1, on a deux équations qui déterminent les valeurs cherchées de c et r/. Les termes en xm ne proviennent que de om(x,cx -\- d). Si

>(.v,//) = ft0.Tm 4- rt^-1// -I- a%x^-%y% h *. -f am>»,

on trouve en remplaçant y par r.v -f- d,

a0x™ 4- a^"-1^ -f- f/) 4- %rm-2(c.r -f d)2 4- ... -f- ajfix f rf)w;

les coefficients de .vm et de xm~l sont, respectivement,

ctQ 4- atc + a.2c2 -h • . f rtmcm = <pmfl.c); (aj 4- 2a2c -|- 3a3c2 4- ••• -f mamC™-1^ = ?'m(l,cK

a'm(l,c) désignant la dérivée de >,(l,c) par rapport à c. Les

termes en .v"1"1 de (1) proviennent de »,„(#, r.v |- </) et de

om 1(.v, c.v 4- (/). Les deux premiers termes de cette équation

sont donc :

om(l,c)x* 4- [<f'm(l, c)d j- »m-i(l,c)]xm-1.

Par suite, pour trouver les asymptotes on posera