Asymptotes curvilignes. — La discussion de l'équation

d'une courbe fait souvent connaître une courbe d'espèce plus

simple, asympto tique de la première.

Par exemple, la courbe

V 1* y = A0a-m -f A xx^ -1 + . . . -f- Am 1o; - 1- Am -f- -"- -f -| -f- . . . ,

admet pour asymptote la courbe

// == A0o;m -f A^-m-1 -f ... 4- Am rx' H- A,u. Considérons encore l'équation

W^J1' 'te-W

Nous posons

Les valeurs de yj et y2 sont réelles à partir de x = 1, et l'on a 2/5 < y\\ pour a: = 1, y\ = y\ = 1 ; pour x = -\- oo, y\ diffère

Fig. 84.

infiniment peu de x |- \ .v2 = 2*v et y2 tend vers zéro. On a donc deux brandies BAC, B'A'C, qui sont asymptotiques de l'axe OX et de la parabole NON' représentée par v2 = 2a*.

Pour x compris entre 0 et 1, Vi et y2 sont imaginaires. Aux valeurs négatives de x correspondent des valeurs imaginaires

dey.,; mais y, est réel. En changeant, pour plus de clarté, x en — -Y, on a

il en résulte que lini yl = 0 pour les abscisses négatives, infiniment grandes. La courbe présente donc, du côté des x négatifs, deux branches infinies DEF, D'E'F', asymptotiques des axes coordonnés.

314. Asymptotes en coordonnées polaires. — Soit PI l'asymptote d'une branche infinie de courbe (fig. 85). Menons OA parallèle et OP perpendiculaire à PU, et posons AOX = a, OP = d.

D'un point quelconque M(r, 9) de la courbe, menons MQ perpendiculaire à OP. Lorsque M s'éloigne indéfiniment sur la courbe, OM se rapproche tant qu'on veut de OA : donc l'angle a. est une valeur de 8 pour laquelle r devient infini.

Dans le triangle rectangle QOM, OQ = OMshi MOA; OQ ayant pour limite OP, on a

d = lim [r sin (8 — a)J = lim [r(8 — a)], pour 0 ---- a,

Exemple. — r = ±

Vi-tg

Le pôle étant un centre de symétrie, il suffit de faire varier 0 de —

à- • Pour 8 = — - -f- £, r est réel et a pour limite O ; la courbe passe donc par O, qui est même un point d'inflexion avec une tangente perpen-

diculaire à l'axe polaire. Lorsque 6 croit de à 1 puis de — à 0, r

croit constamment de 0 à ; - > puis de , à 1. r continue à croître lors-

que 6 passe de 0 à -; il est infini pour 8 = - et devient imaginaire dans

l'intervalle - » - 1 .

La courbe admet une asymptote faisant avec OX un angle de 45°. La distance de cette droite au pôle est donnée par

sin (45° — 8) d = lim [r sin (8 — 45°)] = lim \= > pour 0 ^ 450.

Si l'on remplace l — tg0partg*45° — tg 0

sin (-15° — 0)

° ' "° cos 15° co« 8

aisément lim rf = 0. L'asymptote passe donc par le pôle. Les points d'inflexion vérifient l'équation

sin 40 4- -1 sin 20 — 3 -- 0.

' on trouve

Exercices et notes.

1. xy- — y2 — x ~ 0. Une brandie comprise entre deux asymptotes parallèles y= i 1), et tangente à OY; deux autres branches situées en dehors des mêmes asymptotes et avant une asymptote commune (x = 1 .

2. xyl -\- x-y = 1. Axe de symétrie (y = x : asymptotes (.v -— 0, y = 0, y = — x)', une branche comprise entre les asymptotes OY, OX; deux autres branches ayant pour asymptote commune la bissectrice de l'angle XOV et pour asymptotes non communes OY ou OX.

3. .v\r- = x2 -f- y'2. Quatre branches hyperboliques situées dans les angles opposés aux sommets d'un carré dont les côtés ont pour équations 3c=± L /=i 1; l'origine est un point isolé.

Cette courbe est une kreuzeuroe; c'est le lieu des quatrièmes sommets des rectangles dont deux côtés sont les segments OA, OB déterminés sur deux diamètres rectangulaires OX, OY d'une circonférence par une tan-

gente quelconque AP>. Equation polaire : r = . ~ ft ■

sin '.0

4 x2y2 = x'2 — y'2. L'origine appartient à la courbe et est un centre: c'est un point double d'inflexion, ayant pour tangentes les bissectrices des

angles des axes: la courbe est enfermée entre deux asymptotes parallèles

Cette courbe se déduit de l'hyperbole équilatère par le procédé qui

, , • , t t^ i^ i • 4 t-os 2 0

déduit du cercle, la Kreuzcurve. Lutiation polaire : r2= — ,„ , •

sin- 2 0

5. (x - a y2 = (y — b)x2, b > n > 0. Equations des asymptotes : x = a,

y = /). y x -f- a — b: l'origine est un point double.

6 La spirale qui a pour équation r = tote et une droite asymptote.

admet une circonférence asymp-

7. r = - • Quatre asvmptotes faisant l'angle. de 45° avec OX et dis

cos 2 0 c * l

tantes de O de la quantité -■ Quatre branches ayant chacune deux bras

infinis.

L'exercice 7 ne diffère pas essentiellement de l'exercice 3.

cos 2 0

8. r -r . strophuïde i Déterminer analvtiquement 1'asvmptoto.

cos 0

'.». Une droite a tourne uniformément autour de l'un de ses points; une seconde droite b se meut avec une vitesse uniforme parallèlement à ellemême. L'intersection de ces droites décrit une courbe, appelée quâdratrice

de Dinostrate. Equation r= . , si à l'origine du mouvement h coïncide avec a. Déterminer les asymptotes.

10. Une infinité de circonférences se touchent en un même point (). On

prend sur chacune d'elles, à partir de (), un are OC de longueur constante

C décrit une courbe appelée cochléoïde ( Equation : r a ' ft V

lia courbe passe un nombre indéfini de fois au point (). Elle n'a pas d'asymptote. C'est une courbe inocr.se de la quadratrice de Dinostrate.

sin x T , , , , .»...,.

11. y—- " Ii axe des x rencontre la courbe en une infinité de points

équidistants. Les arcades successives ont même largeur, mais diminuent de hauteur.