xs — 3xy2 — 1 = 0. Trois asymptotes passant par
14. xy2 — x -f- 2y — 1 = 0. Deux asymptotes parallèles à OX et une troisième confondue avec OV.
15 y3 — a-3 — 3.'-- = 0. Asymptote y = x — 1.
Courbes unicursales.
312. Une courbe est dite unicursale lorsque les coordonnées (x, y) d'un point quelconque de cette ligne peuvent s'exprimer par des fonctions uniformes d'un paramètre /. Nous considérerons ici des formules
où f(t), fi(t), ®(t), '^(t) désignent des polynômes entiers.
Xous supposons les fractions (1) irréductibles. En les réduisant au plus petit dénominateur commun, nous écrivons
y- fw *~m' ()
313. Asymptotes. — Considérons les formules (1). Soit t = a une racine de f\(t) = 0, qui n'appartient pas à l'équation ox(t) = 0, Pour t = a, x est infini et y a une valeur finie ; la courbe a donc une asymptote parallèle à l'axe OX et représentée par
On peut trouver de même les asymptotes parallèles à l'axe des y.
Supposons maintenant
de sorte que
Ag = <?(')
" 7 - a)nV:2U) ' V~ (* — a)»<p,(tf) '
Pour t -^ i, x et ?/ sont infinis. Si /z — /;z, on a (308)
?/ s (a)/!, (a) c = hm* = ' ; ; -r- » pour ^ - a;
ca; = i(0A (*)*.(«)/(«) -- A0?*(0t(«)A(») .
Le numérateur de la dernière fraction s'annule, visiblement, pour / a; il est donc divisible par / — y.. Par conséquent, si m = n = 1, r — t\\* tend vers une limite finie pour t = a, et la courbe admet une asymptote parallèle à la direction c". Lorsque /iz > 1, y — c.v peut encore avoir une limite finie; dans le cas où la limite de y — ex est infinie, on dit que l'asymptote se transporte à l'infini.
Soit maintenant m > ;z. Le rapport- ayant une limite nulle
pour t = a, la courbe, au premier abord, parait admettre une asymptote parallèle à Taxe OX ; mais y étant infini pour t — a, l'asymptote est à une distance infinie.
L'hypothèse zzz <^n conduit à des conclusions analogues.
314. Points multiples. — Pour que la courbe ait un point double, deux valeurs / = a, / = (3 doivent donner les mêmes valeurs de x, y. Si l'on se rapporte aux formules (2), on trouve
F(«) F^ct) F2(a) P(P) Fap)"F2(P)' ou
F(a)F!(p) - F ftF^a) = 0, F(a)F2fp) - F(3)F2(a) = 0, (3)
Les premiers membres des équations (3) sont divisibles par a — 3; en supprimant ce facteur, on obtient deux équations servant à déterminer a et B.
La discussion complète de ces équations l'ait connaître aussi les points singuliers autres que les points doubles. Par exemple, si une solution est a = 3, elle correspond à un point de rebroussement.
315. Tangente. Point d'inflexion. — Le coefficient angulaire de la tangente en un point donné de la courbe a pour expression
dy F(/-F'2(/) — F,(/)F'(/i doc " F(J)F\[t) — F\(i\F\t\'
Pour trouver les points d'intersection de la courbe avec la
droite
ax -f by + c — 0, (4)
nous remplaçons .v, y par les valeurs (2) ; ce qui donne
aP1(0 + ôP8W + cF(0== 0. (5)
Les racines de (5) donnent les valeurs de t qui correspondent aux points cherchés. On en conclut que l'ordre de la courbe est égal au degré le plus élevé des fonctions F(/), F,(f), F2<7).
Si deux racines de l'équation (5) sont égales, la droite devient tangente. La racine double doit satisfaire à l'équation
aF1^) + àF'2(t) -f- cF'(ty --= 0. (G)
En éliminant t entre (5) et (0), on obtient la relation exprimant que la droite (4) est tangente, ou Y équation tangentielle de la courbe.
Si la droite (4) est une tangente d'inflexion, trois racines de l'équation (5) sont égales; car une sécante menée par un point d'inflexion I et faisant un angle infiniment petit avec la tangente, rencontre la courbe en deux points infiniment voisins de T. Le paramétre du point d'inflexion satisfait donc aux équations (5), (()) et
aF'\(t) 4 bF".2(t) 4 cF\t) = 0, (7)
et à celle qui résulte de l'élimination de a, b, r, à savoir
p,(0 VM F(/)
FJ(0 FiW F'W
Exercices et notes.
] . Les Formules
a\t- -f- bxt -\- c
a/2 -j- ht -f c
a/2 4- 62* + c, cet2 + ^ -j- c
définissent une conique. Trouver les asymptotes quand on a une hyperbole, et la direction des diamètres quand on a une parabole. Un système de deux droites correspond à l'existence d'un point double: ce qui exige
