ÉTUDE DE QUELQUES COURBES PARTICULIERES

Cycloïde

316. Définitions. - La cycloïde {fig. 86) est la courbe ABD engendrée par un point M d'une circonférence 0 qui roule, sans glisser, sur une droite fixe AX. Elle se compose d'une infinité

de branches arcades) identiques, placées l'une à la suite de

Fier. 86.

l'autre. La largeur AI) d'une arcade ABD est égale à la longueur de la circonférence mobile; la hauteur CB est égale an diamètre de cette ligne.

Un point non situé sur la circonférence mobile, mais invariablement lié à cette ligne, décrit une courbe, qu'on appelle cycloïde allongée on cycloïde accourcie, selon que le point est extérieur ou intérieur au cercle mobile.

317. Equations de la cycloïde. — Supposons qu'à l'origine du mouvement le cercle mobile touche AI) en A. Prenons ce point, considéré comme appartenant à la circonférence, pour point générateur de la cycloïde, et adoptons pour axes AI) et la perpendiculaire AY.

Si NME est une position quelconque du cercle générateur, et

M le point correspondant de la cycloïde, l'arc XM est égal à la

droite XA. Soit 6 l'angle NOM; c'est l'ongle dont le cercle 0 a

tourné autour de son centre depuis sa position initiale. Menons

MP perpendiculaire et MQ parallèle à AI): les coordonnées de

M sont

x = AP AX — MQ, y == MP = ON — OQ.

Le rayon <)X étant représenté par n, l'arc NM, et par suite AX, a pour expression n<>. Dans le triangle rectangle QOM,

MQ = a sin 0, OQ = a cos ').

Par conséquent

x = «;0 — sin 6 , y — a([ — cos 0) (1)

Ces formules nous serviront à établir les propriétés de la courbe; 0 joue le rôle de paramètre variable.

Pour avoir l'équation en x et v, il faut éliminer 0 entre les égalités (1). De la seconde, on déduit

eos 8 = — - V , sin 6 --= ± - \<W — V' , (2)

6 = arc cos ;

on a donc

x ---= a arc cos "' T ^2ay — .V2- (3j

Le radical est pris avec le signe — ou avec le signe -j-, suivant que le point appartient à la demi-arcade montante AB ou à la demi-arcade descendante BI); car dans le premier cas, 6 est compris entre 0 et ~ ; dans le second cas, entre - et 2~.