Remarques. — I. £>es égalités (4) et (2), on conclut

dit sin 0 * /2a — y . ?/f/«/ . ,.

ûfcc 1 — cos 6 V y \ 2ai/ — i/'

telle est V équation différentielle de la cycloïde, que l'on rencontre dans plusieurs questions de mécanique rationnelle.

II. On appelle roulette la courbe engendrée par un point M invariablement lié à une ligne A qui roule sans glisser sur une ligne fixe A'. La cycloïde est évidemment une roulette.

Dans toute roulette, In normale passe par le point de contact de la ligne mobile avec la ligne fixe. En effet, soient KÂBCD. . ., Iv'A.KO'D... deux polygones inscrits à A et A', et ayant leurs côtés égaux deux à deux (flg. 83). Faisons rouler ces polygones

Fig. 87.

l'un sur l'autre : le point M décrira d'abord un arc de cercle MM', ayant pour centre Bet dont l'angle au centre MBM'=CBC; il décrira ensuite un arc de cercle M'M" ayant pour centre le point Cf; et ainsi de suite. Si l'on passe à la limite en faisant tendre vers zéro les côtés des deux polygones, on voit que BM est la normale à la roulette, au moment où les deux courbes A, A' se touchent en B.

En appliquant ce théorème à la eycloïde, on retrouve la propriété établie ci-dessus (318) par le calcul.