Arc de eycloïde. — Les formules (4) donnent

ds2 = a2 [(1 — cos 0)2 + sin2 b] tfô2 = 2a~ (1 — cos 0)efô2 = Au2 sin2 - db2 ;

011 en déduit

2a sin - r/0,

Soit s l'arc MB; nous aurons

2a si n - db = Aa

~ cos »

-Je

== Aa cos

Or, dans le triangle rectangle MEN,EM = EN" cos E=2a cos-;

donc : l'arc de eycloïde, compté depuis le sommet B, est double de la corde correspondante EM du cercle générateur.

XKUBERG, An. inf.t 1

L'arcade ABD a pour longueur le quadruple du diamètre du

cercle générateur.

321. Quadrature. — Cherchons Taire D comprise entre l'arc BM, la tangente en B et la perpendiculaire MQ' abaissée de M sur BE. Si X, Y sont les coordonnées de M par rapport aux axes BE, BC, les formules (1) donnent

X = A( ! — AP = -a — a(0 sin 0) = a{~ — 0 + sin 6 , Y = BC — MP = 2a —a({— cos 8) = a(\ -f cos 0 ;

d'où, en posant o = MOE = it — 6 :

X = a(cp -f sin cp), Y = «(1 — cos ©); dU = Y<7X = a2(l — cos cp) (L + cos ©)o?? = a- sin2 cptf<p;

L = — I (1 — cos2<c c?» == - I

rf® —

cos2e.2eft

sin 2o"

= û2îd a- sin 2œ.

Mais ~ a2co est l'aire du secteur circulaire MOE et

; a2 sin 2œ = « </ sin co .a cos 4 ' 2

MQ.OQ = — QMQ;

par suite, faire U es/ égale à celle du segment circulaire EQ,M, compris entre les droites Q,E, QM et l'arc de cercle EM.

En particulier, l'aire BMAIB est égale à celle du demicercle EMN ou à - ~ir ; l'aire AMBC est donc égale au rectangle ACBI, diminué du triangle curviligne B.MAI ou égale à

et /'az'/v entière AMBDA pazz^ trois fois celle du cercle générateur.

325. Rayon de courbure. — Dans la formule R=^ , remplaçons ds par la valeur (7) et a par ~ — 0 ; il vient