Développée. — Prolongeons MX de NM' MX (fig
M' est le centre de courbure de la cycloïde au point M. Décrivons le cercle ()' symétrique du cercle O par rapport à N; il passe par M' et l'arc MX = NM'. Si l'on mène A'C' parallèle à CA et passant par le point A', symétrique de B par rapport à C, cette droite touche le cercle O' au point Nf situe sur le diamètre NO', et l'on a
A'N' = CN = CA — AN = N'M'M — M'N = arc N'M'.
Il en résulte que M' appartient à une cycloïde A'M'A, engendrée par un cercle 0' égal au premier cercle O et roulant sur la droite A'C; A' est un point de rebroussement, et A un sommet de cette seconde cycloïde.
La développée de l'arcade ABD se compose de deux demiarcades AM'A', A'M"D, placées comme l'indique la figure.
327. Cycloïde allongée ou accourcie. — Prenons sur le rayon OM (flg. 80) un point m (*), que nous supposons entraîné par le cercle O roulant sur AI); ce point décrit une cycloïde allongée ou accourcie, suivant qu'il est extérieur ou intérieur au cercle mobile.
Soient;;, q les projections de m sur AD et NE; les coordonnées de m sont
x = Ap = AN — mq, y = mp = ON — Oq.
Le triangle Omq donne mq = b sin 0, Oq --— b cos 0, b désignant la distance Om ; les équations de la courbe sont donc
oc = ai) — b sin 0, y = a — b cos 0.
Si l'on élimine 0, on trouve
x = a arc cos =p y b~ — (a — ?/)-.
(*) Les lettres m, p, q ne sont pas marquées sur la figure.
Exercices et notes.
1. Un point A d'une droite AB parcourt uniformément une droite fixe LZ, pendant que AB tourne uniformément autour de A ; soit .-* le rapport constant entre le chemin que parcourt A et l'angle dont AB tourne dans le même temps *). Si l'on prend sur AB les distances AM = AM' — a, les points M et M' décrivent des cvcloïdes : les autres points de AB décrivent des cvcloïdes allongées ou accourcies suivant qu'ils sont extérieurs ou intérieurs au segment MM' : la droite AB roule sur une cycloïde dont le cercle générateur a pour rayon lu.
Cette proposition résulte immédiatement des conditions de mouvement des droites OM, KM {fig. 86). Le point O décrit une droite LZ parallèle à AX et il existe un rapport constant u entre le chemin parcouru par (> et l'angle dont OM a tourné depuis la position initiale AN aQ); le point K décrit une droite parallèle à AX, et la rotation de KM est la moitié de relie de OM.
2. Conclure du théorème précédent que la développée d'une cycloïde est une cycloïde égale à la première.
Les points K, X (fig". 86) ont la même vitesse sur les droites 1B, AC, et les droites KM, XM tournent de quantités égales. .">. Le rayon OM [fig. 86) enveloppe une cycloïde dont le cercle générateur
a pour rayon - OM.
A. On porte sur la tangente EM une longueur constante Eh; le point u décrit une cycloïde allongée ou accourcie. Dans quel cas obtient-on une cycloïde ordinaire ?
5. Sur la normale XM {fig. 86), on prend une longueur constante Nn; le point n décrit une cycloïde ordinaire, allongée ou accourcie.
(i. Les droites qui coupent une cycloïde sous un angle constant enveloppent une cycloïde égale à la première.
Menons une droite Me faisant avec MK {fig. 86) un angle constant et rencontrant la circonférence 0 en e; l'arc Ee étant constant, e décrit une parallèle à AC, et on peut appliquer l'exercice 1.
7. Le point qui divise dans un rapport constant la normale XM {fig. 86 . engendre une cycloïde.
Soient Y, V des points divisant NO, NM dans un rapport constant; l'exercice 1 est applicable à la droite VV.
S. Le lieu des sommets des triangles S'MN, semblables à un triangle donné et construits sur les normales MN, est une cycloïde.
Construisons le triangle SON semblable à S'MN; les triangles S'NS, MNO seront semblables. Appliquer l'exercice 1 à la droite S'S.
9. Le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à une cycloïde est une cycloïde égale.
Supposons que deux tangentes rectangulaires d'une même arcade {fig. 86)
(*) Par un point fixe O, on mène une droite OU parallèle à AB et égale à l'unité. L'angle dont AB tourne pour passer d'une position à une autre, a pour mesure l'arc correspondant décrit par U.
rencontrent IB en E, Ë] : on a IE aQ, IE] aOi, <l <>u l'on déduit que EE, a une longueur constanle. Soient R le ]>oint de rencontre des deux tangentes, E. le milieu de Ejl'L : RE.2= I^K.. L'exercice 1 est applicable a la droite KAi.
10. Le lieu du sommet d'un angle constant circonscrit a une cycloïde est une cycloïde.
Si les notations sont celles de l'exercice 9, le centre Oi du cercle cir conscrit au triangle REEj décrit une droite, et le rayon a une longueur constante. L'exercice 1 est applicable à la droite O^R.
11. On porte sur les ordonnées d'une circonférence, à partir de cette courbe, une longueur égale à l'arc de la circonférence, compris entre un point fixe et l'extrémité de l'ordonnée : l'extrémité de cette longueur décrit une cycloïde.
12. Si l'on porte sur l'ordonnée voir ex. llj, à partir de l'axe des x une longueur égale à l'arc, on obtient une courbe appelée compagne de la cycloïde et ayant de l'analogie avec la sinusoïde.
13. Une droite AB se meut de manière que le point A décrive une droite fixe LZ et qu'entre la distance LA = z et l'angle BAZ = 0 on ait la relation
Démontre/ que AI> enveloppe une cycloïde. (Voir exercice 1.
14. Quand une cycloïde roule sur une droite, le centre de courbure, correspondant au point de contact, se trouve sur une circonférence fixe.
Car, si l'are BA roule sur BE {fig. 86), le point M prendra une position dont les coordonnées par rapport aux axes BL, BC .sont égales à l'arc KM = 2EM et MM' = 2ME.
Epicycloïde.
325. Définition. — On appelle epicycloïde (fig'> 88) la courbe
Fig. 88. Fig. 8g.
engendrée par un point M d'une circonférence O' qui roule sans glisser, extérieurement, sur une circonférence fixe O.
Supposons qu'à l'origine du mouvement les circonférences se touchent en A; prenons ce point (considéré comme fixe sur la circonférence 0') pour point générateur de l'épicycloïde. Si M est une position quelconque de ce point, et X le point de contact des deux cercles, les arcs NM, XA sont nécessairement égaux.
Lorsque le point générateur coïncide de nouveau avec le point de contact des deux cercles, il a décrit une arcade de l'épicycloïde. Le cercle (V continuant son mouvement, M décrit
d'autres arcades égales à la première.
Soient R, R' les rayons OX, O'X; le rapport , s'appelle le
module de V épicycloïde. S'il a une valeur commensurable, égale
à la fraction irréductible > i> l'ois le périmètre de la circonfé-
rence O' égalent q fois celui de la circonférence O ; donc, si la circonférence mobile se déroule /) fois sur la circonférence fixe, elle fait aussi q fois le tour de la courbe fixe, et le point générateur revient à la position initiale. Autrement dit, l'épicycloïde présente p arcades distinctes, que l'on rencontre en parcourant q fois la circonférence O. Dans ce cas elle est algébrique.
La figure 89 correspond au module 3 : la circonférence fixe étant ACE et la circonférence mobile, AMX, l'épicycloïde est composée de trois arcades ABC, CDE, EFA.
Si le module est incommensurable, le point générateur ne revient jamais à sa position initiale; le nombre des arcades est indéfini et la courbe est transcendante.
Un point M', invariablement lié au cercle O', décrit une courbe, qu'on appelle épicycloïde allongée ou épicycloïde accourcie, suivant que M' est extérieur ou intérieur au cercle O'.
