Si | a
(1— xf
Pour la première série, observer que
Sn — Sn.v = 1 + x + .v- -f .. | .v" H — ;j.y", etc.
28. La somme d'une série convergente à ternies positifs est indépendante
de l'ordre des termes.
Soit la série ux -[■ n., ~\- uA -{- .. : appelons Vn la somme des // premiers termes, et U la limite de Un. Ecrivons les termes dans un autre ordre : représentons la nouvelle série par />( | />., | ";; |- ..., et la somme des «
premiers termes par Vu. On peut prendre /> suffisamment grand pour que
tous les termes de Vn se retrouvent dans Up : alors Vn < Qp < l . On en conclut (pie V» tend vers une limite V égale ou inférieure à U. En intervertissant les rôles des deux séries on voit (pie l" V : donc U = V. 29. Soit iii |- »j -f- .. une série à termes positifs et négatifs, et soient
lh \-P-2 + •••» — *h — <l-i — ■■ I
les deux séries formées respectivement par les termes positifs et par les termes négatifs de la première série. Trois cas peuvent se présenter :
1" L'une des séries il, est convergente, l'autre est divergente. La série Hj -J- Ho !" H3 h ••• est divergente.
2° Les deux séries (1 > sont convergentes. La série K] ■ |- u, ■ j- ... est alors absolument' convergente et sa somme est indépendante de l'ordre des termes. DlRïCHLKT. I
Posons Pn =P\ -\-l>> 4" ••• +pn, Qn = q\ + r/i "!-••• + <7« I si ln somme u\ 4" ui 4~ w3 4~ • • 4~ M" comprend u. ternies positifs et v ternies négatifs, on a Sri Pij. — Qv- En faisant croître n indéfiniment, on voit que la série proposée a pour somme la différence P — Q des sommes des séries formées séparément par les termes positifs et par les termes négatifs Si l'on change Tordre des ternies de ii± -\- u.2-\- u3 -j- ,. , les sommes P et <,> ne changent pas exercice 28); donc, etc
3' Les deux séries (L sont divergentes. Si liiu ;m =0, lim (jn --- 0, on peut écrire les termes de la série iij -f- n, -f- Wg-|- •- dans un ordre tel, (pie la somme de la série ait une valeur quelconque K. (RiEMAXX.)
En effet, on ordonne la série proposée ainsi :
P] + P2 "f •■• + Pi — <L\ - <lz ••• — q* 4-PH i + Pr+2 4" ••• -\-Pv\A — 7-s ii " qS+2 ••• — tfs+u "f Pr+t+i 4" .... On prend d'abord assez de termes positifs pour que la somme surpasse K :
Pi -\~P% + ... -rPr-i < K < j'i r Pi 4" .-■ +i5r;
on ajoute ensuite des termes négatifs jusqu'à ce que la somme devienne plus petite que K :
Pi 4- P2 4- .- — '/s < K < px }- p2 -H • • • — ?s-
on ajoute de nouveau des termes positifs pour ramener la somme au-dessus
de K, puis des ternies négatifs pour la ramener au-dessous de K, etc.
30. Une série positive uY \-in-\-... est convergente, s'il existe une suite indéfinie de nombres positifs nx, u>. n3, .. telle que
An = an — aD j ^ > p.,
;a étant une constante. Elle est divergente si à partir d'une valeur déterminée de n on a
«ii^n — an+iMn | 1 < 0,
cl «pie la sérieS est divergente (Kummer.j
Dans 1e premier cas,
"u i i < , (an "n— Cln | i^n | !',
d'où Un ! i |- Uo 1-2 + ■ ■ | "" ; 1' <:- " an"n, etc.
Dans le second cas, an-'-pHn4-p> an «n : donc lin | i> > an Hn ' etc. i 7 I.
c'fll Jl
30 Démontrer que pour m = oo,
(m? + AmP 1 -f- ...
un , - c
