Tangente et normale. — Les égalités (2) donnent
dx = (m -\- \)\V[ — sin a 4- sin (m -f- l)a]o?a, j r/// = (m 4- l)R'[c©s a — eos (m -f- l)a]o?a; ^
il en résulte
(h/ eos a — eos (m 4- l)a (m -|- 2N;« / a'
afo? — sin a -f- sin (m -f- l)a 2 & \ 2
Par conséquent, la tangente à la courbe fait avec OX un
Y angle égal à «-+«. Soit E la seconde extrémité du diamètre
NO' du cercle ()'; comme OEM -.^XO'M == .//, l'angle de EM
a' avec OX vaut 0 -f a. Doue EM est la tangente, et MN est la
normale à l'épicycloïde. C'est ce qui résulte aussi de la propriété générale des roulettes. (319, II).
327. Rectification. — On déduit, des formules (3), ds2 = <u~ + <hf- = (m + 1)2R'2[2— 2cosma]^,
ds = 2(77i -f 1)R' sin "^ doi. (4)
Or
Ç . ma , 2 f . ma /ma\ 2 ma.
sin >, à = - sin - a| 0 = eos »
J 2 mj 2 \ 2 y m 2
donc si l'arc s commence au point A, où a = 0, on a
mala y// -f- 1 , m»
— eos - = 4 Pv 1 — eos
8(m + i)K,sin2«:
Une arcade correspond à -/ - 2~ ; elle a donc pour longueur
8(m4-l)E,==8(B-fB')E,
329. Quadrature. — Soit u l'aire du secteur compris entre les rayons OA, OM et l'arc A M de l'épicycloïde. On a (211)
du = - [xdy — ydx).
Remplaçant x, y, dx et dy par les valeurs (2) et (.3), on obtient du = -(m -f- 1) [m -f 2)R'2 1 - cos ma)rfa.
Or, (1 — cos mz)dct = a
on en conclut
sin //?a
sin a
u- i(m+l)(m + 2)Ii'2
a' sill a' a'
Si le secteur a pour base la première arcade, on a y.' = 2~, et
(rn 4. i)(^ 4. 2)
Retranchons-en le secteur correspondant (*j du cercle O ; nous aurons pour Taire comprise entre une arcade et la circonférence O :
Jm+l)(m h 2) 3m + 2
". Iv * — ■■J/llv — .. Iv - .
La cycloïde est une épicycloïde dans laquelle le cercle fixe a un rayon infini ou dont le module est infini; l'aire comprise entre une arcade de cycloïde et sa base résulte donc de celle que nous venons de calculer, si l'on l'ait m 00. On retrouve ainsi 3tcU'- (321).
