Epicycloïdes particulières

1° m = 1 {ftg\ (jo). Lorsque les cercles (), ()' sont égaux, le

Fi g. go. Fig. gi.

point M décrit une cardioïde (181). En effet, les arcs \À, XM

étant égaux, les points A, M sont symétriques par rapport à la tangente commune NT; soit T le milieu de AM. Si P est le point où AM rencontre la circonférence décrite sur OA comme diamètre, la figure OXTP est un rectangle ; doncTP = ON = OA. On conclut de là que le point T décrit une cardioïde ayant pour pôle le point A, pour circonférence directrice la circonférence OPA. Or, les points T et M. décrivent des courbes semblables, etc. (*).

Décrivons une circonférence du centre O avec le rayon OE. La cardioïde est la caustique par réflexion de cette circonférence par rapport au point S; car les angles OES, OEM étant égaux comme moitiés des angles égaux EO A, OO'M, le rayon lumineux SE se réfléchit suivant la droite EM, qui touche la cardioïde en M.

2° m = 2 (fig. 9i). L'épicycloïde comprend deux arcades, ("est la caustique par réflexion de la circonférence décrite du centre O avec le rayon OE, les rayons lumineux étant parallèles à OA. En effet, puisque a' = 2a, l'angle OEM — EOA; donc un rayon EE. parallèle à OA, est réfléchi par la circonférence EE' suivant EM.

Hypocycloïde.

333. Définition et équations. — Lorsqu'une circonférence O roule intérieurement sur une circonférence fixe O (**) tout

Fier. 9a.

point M de la première ligne décrit une courbe appelée hypocycloïde (fig. $2).

(*) Le lieu de T est la podaire de lu circonférence AN par rapport au point A.

(**) Le cercle mobile est supposé plus petit (pie le rende fixe. Lorsqu'il est plus grand, la courbe engendrée par l'un de ses pointsest souvent appelée péricycloïde ; elle peut être considérée comme une epicycloïde (voir ]>. 318, ex. G).

Les notations étant celles du §328, on a Ra RV, et

.7; -, (R R') cos a -f- R' cOS(a' — a),

y = (R — R') sin a— R' siny — a); équations qu'on peut remplacer par celles-ci :

x = (m — 1) R' cos a - 1- R' cos(m — 1 la, ?/ = (m — 1 ) R' sin a — R' sin(m — l)a.

Ces formules se déduisent de celles de l'épicycloïde par le changement de m et R' en — m et — R\

334. Hypocycloïde rectiligne. — Si m == 2, la dernière équation se réduit à y = 0; doue l'hypocyeloïde (//£'. o3) se réduit à un diamètre A A' du cercle fixe.

Pour démontrer directement ce résultat, soient ()' une posi-

Fig. ()3.

Fù

yiil

tion quelconque de la circonférence mobile, X son point de contact avec la circonférence fixe O, M le point où elle rencontre le diamètre OA qui passe par la position initiale du point générateur. Les angles NOM, XO'M, qui sous-tendent le même arc XM, sont dans le rapport 1:2; on en déduit que les arcs XA, NM sont égaux. Donc M appartient à l'hypocycloïde.

Un point quelconque m, invariablement lié au cercle O', décrit une ellipse. En effet, soit MP le diamètre passant par m. Les points M, P, dans le roulement du cercle O', décrivent les diamètres A A', BB' du cercle fixe; MP conservant une longgueur constante, le point m décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suivant A A', BB' et ont pour longueurs 2ni M, 2/nP.

335. Hypocycloïde à trois rebroussements. [Fig. &£). si Ton fait m — 3, les équations du § 333 prennent la forme

.'• = R/(2 cos a -f- cos 2a), y = R'(2 sin a -j- sin 2a .

En éliminant a, on trouve

.v2)2 + SK'x(3i/- - .*•-) -f 18R'2(#2 h y2) - 27K'4 0.

Quand on prend pour triangle de référence celui qui a pour sommets les trois rebroussements, l'équation en coordonnées

normales est

0, ou Sa-2^2 — 2;rys2# = 0.;

et l'équation en coordonnées tangentielles,

V« + VP+Vy=0, ou (a + p + Y)3 27a|3

Cette courbe jouit de nombreuses propriétés, signalées par Steiner, Ferrers et Cremona. Elle est l'enveloppe de la droite qui joint les projections d'un point quelconque M d'une circonférence sur les côtés d'un triangle fixe inscrit ABC; cette droite est la tangente au sommet de la parabole inscrite au triangle ABC qui a pour foyer le point M.

336. Hypocycloïde à quatre rebroussements ou astroïde (fig- 95).

Fig. ()C>.

Lorsque m = 4, les équations du § 333 deviennent

x = H\3 cos » - cos 3a) = 1R' cos" y. = R cos3 a

R'(3 sin a — sin 3a) JK' sin:; y. = R sin:; y.;

on en déduit facilement

x* | y* = IV.

La tangente KM (293; jouit d'une propriété remarquable : le segment KT intercepté entre les diamètres rectangulaires 0A, 0B du cercle fixe est égal à 0A. En effet, les angles \()A, XO'M étant toujours désignés par a, af, on a a' = 4a; l'angle NET, moitié de l'angle NO'M est donc égal à <>a; comme il est la somme des angles EOT et ETO, ceux-ci sont égaux entre eux, et le triangle EOT est isocèle. On a doue KO EN ET; par suite l'angle OTN est droit. Le triangle OKT étant rectangle et EO étant égal à ET, on a aussi EO = EK. Doue TK = 20E= ON.

La figure 92 donne une astroïde AMBCD et sa développée AEBFCGDHA.

Remarque. — En comparant les équations de l'astroïde et de la développée de l'ellipse, on voit que la seconde courbe se déduit de l'autre en modifiant les ordonnées dans un rapport constant.

Exercices et notes.

]. Un point G d'une droite ;j. parcourt uniformément une circonférence, de centre () et de rayon r : en même temps cette droite tourne uniforme ment autour de G. Démontrer (pie les points de ;j- parcourent des epicycloïdes, allongées ou accourcies, et que \>. enveloppe une épicycloïde.

D'une manière plus précise, si les angles y., (3 de <)G et <,. avec un axe fixe vérifient constamment la relation

? = na l y,

deux points de u décrivent des epicycloïdes de module n — 1 ; les autres, des epicycloïdes allongées ou accourcies, dans lesquelles le rayon du

cercle mobile est • La droite \}- roule sur une enievcloïde de module n

2(n — li, le rayon du cercle mobile étant égal à0

Ce théorème résulte du mouvement des droites O'M. KM 325, 333. Si le module est négatif, les epicycloïdes sont remplacées par' des hypocycloïdes.

i*. Conclure du théorème précédent (pie tout diamètre d'un cercle rou lant sur un autre cercle enveloppe une épicycloïde, et (pie la développée d'une épicycloïde est une épicycloïde de même module.

:}. Deux points G, II se meuvent avec des vitesses constantes sur une même circonférence, de centre 0 et de rayon /•; autrement dit, les angles y-, (3 des rayons OG, OU avec un axe fixe vérifient constamment une relation de la forme

? = «oc + y.

On prend sur la droite GlI les segments GM ~ GM' — - , et les seg-

2nr ments UN = UN' — , , : les points M, M' engendrent des épieveloïdes de

module — > et les points X, N'. des épieveloïdes de module

Celle proposition correspond au mouvement de la droite O'M '325). G est le point ()', et II est le point où O'M coupe la circonférence décrite par ()'.

4. Dans l'exercice précédent, la droite GII enveloppe une épieyeloïde de module n — 1 : le point de contact divise GlI dans le rapport 1 : n.

G remplace le point E de la fig. 88 et II est le point de rencontre de la droite KM avec la circonférence décrite par E.

5. Lorsqu'un cercle roule extérieurement sur un cercle égal, tout point invariablement lié au premier cercle engendre un limaçon de Pascal

(>. Toute épieyeloïde, engendrée par le mouvement d'un cercle O' roulant sur un cercle fixe O (fig: 97) peut être engendrée par le mouvement d'un

Fig- 97-

autre cercle O" roulant sur le même cercle fixe O. Si II, II', II" désignent les rayons, la somme ou la différence des deux premiers égale le troisième, suivant (pie le contact des cercles O, O' est intérieur ou extérieur.

(EULER.) En effet, la droite joignant M au point de contact des cercles O, O' rencontre la première circonférence à l'extrémité I) d'un rayon OD parallèle à O'M ; soit O" le point d'intersection de OI) avec une parallèle menée par M à ()'(). On a

donc la circonférence décrite du centre O" avec le rayon 11 -f- R' touche la circonférence O en D et passe par M. De plus, si A est la position initiale de M, les arcs AD, MI) sont égaux ; car les rayons sont II, R -f- 11', et les angles au centre sont a -J- a', a', etc.

Remarque. — Ce théorème montre (pie le mot hypocycloïde ne convient que dans le cas d'un cercle roulant à l'intérieur d'un cercle plus grand.

7. Les épieveloïdes allongées ou accourcies sont susceptibles d'une double génération .

Soit m lu point générateur (fig. <j; ; menons ;//()'" parallèle à 00', 0'"1)

parallèle a O'M et rencontrant en D' la droite qui joint m au point de cou

tact des cercles O, 0f. Nous aurons OD' O'm. I, > 0"'D' On, R t5 .

lv R'

Appelons A la circonférence de centre o et de rayon <>!)'. et soit A' la circonférence de centre O'" et de raj'on o" IV. Si l'on t'ait rouler A' sur A, le point m invariablement lié à A' décrit la même courbe que lorsqu'il est entraîné avec le cercle ()' roulant sur le cercle O; car les angles AOIV znO"D' interceptent respectivement sur A. A' des arcs égaux. S. Trouver l'équation de la podaire d'une épicycloïde.

Prenons pour pôle O (fig. 88). La distance de O à EM OE sin '"/' ■

l'angle de KM avec OA (il- m) )*■ Soient r, 0 les coordonnées polaires de la projection de O sur KM, et / la distance OE; on a

r = l bid ■ ~* 0 = f 1 -J- —

Eliminons a ; la podaire de O aura pour équation

r = l sm »

pourvu que l'on change convenablement la direction de l'axe polaire. On en déduit l'équation de la podaire d'un point quelconque Q :

r = l sm — a eos (0 — a) ;

l'axe polaire est parallèle à celui qu'on a adopté pour la podaire de O, et Q est pris pour pôle.

9. Le lieu du sommet d'un angle constant circonscrit à une épicycloïde est une épicycloïde allongée ou accourcie.

10. On appelle équation intrinsèque (*) d'une courbe, la relation f(s, r} = 0 qui lie la longueur d'un arc (variable AM de la courbe et le rayon de courbure mené à l'extrémité variable M de l'arc, dont l'origine A est supposée fixe.

Si l'on prend s pour abscisse et r pour ordonnée d'un point par rapport à deux axes rectangulaires qui sont la tangente AT et la normale AN menées par l'origine de l'arc s, l'équation f(s,r) = Q représente la courbe décrite par le centre de courbure correspondant au point de contact, lorsque la courbe donnée roule sans glisser sur la tangente AT.

(*) On peut consulter les Lezioni di Geometrica Intrinseca, par E. CÉSARO Xapoli, Presso l'autore-editore, 1896) traduction allemande par KowAr.EWSKi) et plusieurs articles du même auteur dans Matjiesis, t. IV, p. 233; VII, p 25; XI, p. 51.

L'équation intrinsèque de l'épicyeloïde peut prendre la forme

11. L'enveloppe «les circonférences qui ont pour diamètres les rayons de courbure «l'une épicycloïde, est une courbe inverse de cette épicycloïde.

(Menxesox.

Chaînette.

337. La courbe {fi g. qS) que figure un fil homogène pesant, flexible et inextensible, et dont les extrémités sont fixes, a reçu le nom de chaînette. On démontre, en mécanique, que cette ligne, rapportée à des axes rectangulaires convenablement choisis, a pour équation

L'axe des x est appelé la directrice de la chaînette; la constante a est le paramètre.

338 On trouve1 aisément

ca -f- c ;|

// cr

L'ordonnée y est toujours positive ; elle croît avec .v si l'on ne considère que les valeurs positives de a\ car y > 0 OY étant

un axe de symétrie, un minimum y = a a lieu pour x point correspondant A est le sommet de la chaînette.

0 ; le

La dérivée y" étant positive, la courbe tourne toujours sa concavité vers le haut.

339. Soient x ■ OP, y = MP les coordonnées d'un point quelconque M de la chaînette, MT et MX la tangente et la normale, a l'angle MTX, s l'arc AM. La formule (3) donne

ds - y'i -|-.v'e dx

d'où

eos a

dx di-

Menons PQ perpendiculaire à MT, PS perpendiculaire à MX ; l'égalité (6) montre que MS— a, car MS = MP eos PMN=y eos a.

Ainsi : la distance du pied de l'ordonnée à la tangente est égale au paramètre ; autrement dit, la projection de V ordonnée sur la normale est constante.