Soit U l'aire AOPM. L'égalité (5) donne
ad s = i/dx = dXJ ;
il en résulte U = as -J- C. La constante C est nulle, puisque U s'annule avec s quand M coïncide avec A. Ainsi U =-- as = PQ. MQ ; donc le segment AOPM est équivalent au rectangle MQPS.
Xeuberg, An. inf.> i. 21
342. Soient R le rayon de courbure, * et j3 les coordonnées du centre de courbure. On a
la normale MN avant pour expression ri-, =--•> le rayon de
courbure est égal à lu normale arrêtée à la directrice.
Ensuite (226),
1 4- >/'2 y — ?=-— —!?■ =— y, d'où 3 = 2.y;
la relation 3 = 2y démontre de nouveau que R — MN.
Pour trouver l'équation de la développée, nous mettons les équations (8) et (9) sous la forme
il reste à éliminer .\\ Les quantités eu, e a, qui ont pour somme
- et pour produit 1, sont racines de l'équation
donc, selon que x est positif ou négatif.
= tt*| O ± V ,2
Par substitution dans la seconde des équations (10- on trouve Telle est l'équation de la développée de la chaînette [fig. 98).
Exercice a et notes.
1 La tractrice a pour équation
x = al y • — X<<:1-
2. On appelle syntracirice le lieu d'un point situé sur la tangente à la tractrice, ù une distance constante du point de contact.
Cette courbe est représentée par
3. Si une chaînette roule extérieurement sur un cercle ayant pour rayon le paramètre de la courbe, le pied de la perpendiculaire abaissée du point de contact sur la directrice décrit une spirale d'Archimède. iMaxsion).
A déduire des relations MS = a, MQ MA (t'ig. 98).
Roulette.
343. On détermine facilement le rayon de courbure d'une roulette. En effet, si l'on substitue aux courbes A, A', dont la première roule sur la seconde, deux polygones inscrits KABCD ..., K'ABCD' ..., (319, II), le point M décrit une suite d'arcs de cercle MM', M'M" ..., ayant respectivement pour
centres les points B, Cr Soit O le point d'intersection des
rayons MB, CM' ; désignons par e, z\ e" les angles CBT, TBC, MOM', par R, R' les rayons de courbure de A, A' en B, par R" celui de la roulette. En employant le langage des infiniment petits, nous dirons que l'intersection O des deux normales infiniment voisines MB, M'C de la roulette est le centre de courbure; e, s', s", sont les angles de contingence des trois courbes, et BC, BC, MM' sont trois arcs infiniment petits. On peut alors écrire
MM' - R"s", BC =-- \U, BC = RV. (1)
L'angle MBM' décrit par BM pendant que BC tourne autour de B pour s'appliquer sur BC, est égal à s -f i'; il en résulte
MM' = r(i + 0»
r désignant la distance BM. Egalons les deux valeurs de l'arc
