CHAPITRE XIX

S U R PAC E S E X VE LOPPES .

Cas d'un seul paramètre.

345. Équation de l'enveloppe. — Si a est un paramètre variable, l'équation

représente une famille de suri'aees.

Soient S, S' les surfaces de cette famille qui correspondent aux valeurs particulières a, a -\- h du paramètre ; elles se coupent suivant une courbe C, qui a pour équations

F(yV/, z, a) = 0, F(#,y, z, a -f /<) = 0. (2)

On peut remplacer le système (2) par le suivant :

F{x,y, ,,a) = 0, tV-'A * " ± 9 " F-<^ '• "' - 0.

Si Ton fait tendre h vers zéro, la surface S' tend a se confondre avec la surface S ; mais la courbe C tend vers une position limite, qui est, évidemment, définie par le système d'équations

F0?,//, sr, a = 0, F!ja?,y, s, a) = 0. (3)

Cette position limite de C est nommée la caractéristique de S.

Si l'on fait varier a, la caractéristique engendre une surface, qu'on appelle Yenveloppe des surfaces comprises dans l'équation (1).

L'équation de leiweloppc s'obtient en éliminant le paramètre a entre Véquation de la surface variable et sa dérivée par rapport au paramètre.

Dans le langage des infiniment petits, l enveloppe d'une famille de surfaces est le lieu de l'intersection de deux surfaces consécutives de la famille.

346. Théorème. — L'enveloppe touche chacune des enveloppées le long' de la caractéristique.

1° Soit M(.v, y, z) un point de la surface (1), appartenant à l'enveloppe ; l'équation du plan tangent à cette surface est

S(X — oc)F'*(x, //, v, a) = 0.

2° Supposons que la seconde des équations (3) donne a ='f (se, y, 2) : alors l'équation de l'enveloppe est F (.y, ?/, 2, ») == 0, et celle du plan tangent au point M de l'enveloppe est

S(X--a?)| F'x(a-,//, sr, ?) + F'?(a?,y, s:, ?) ^

Or, on a identiquement F'^f.v, //, 2, ©) 0, car ®(*v, y, 2) est la valeur de a tirée de l'équation F'aOc, //, 2, a) = 0; de plus, comme M satisfait aux équations (3), 'f(.\\ y, s-) est la valeur de a qui particularise la surface enveloppée à laquelle appartient le point M. Il suit de là que l'équation (5) ne diffère pas de l'équation (4) ; donc cette surface touche l'enveloppe tout le long de sa caractéristique.

Remarque. — Le théorème précédent peut être en défaut dans certains cas. que nous n'examinerons pas ici.

347. Arête de rebroussement. — Les caractéristiques tracent sur l'enveloppe une famille de courbes, qui admet une enveloppe.

Celle-ci est appelée V arête de rebroussement des surfaces considérées; on peut dire (pie c'est le lieu des intersections des caractéristiques successives.

Ecrivons F(a) au lieu de F«.v,//. .-, a), et soient F'(a), F"(a) les deux premières dérivées de F(x, //, 2, a) par rapport à a. Deux caractéristiques infiniment voisines ont, respectivement, pour équations

Le système (7), si l'on néglige les termes d'un ordre supérieur, prend la forme

F(4) 4- //F'(rt) = °j FV) + hFn{a) = 0.

On en conclut que les deux caractéristiques se rencontrent aux points définis par l'ensemble des égalités

F(a)=0, F'(a) = 0, FV) = 0, (8)

quand on l'ait abstraction des termes du second ordre en //.

On obtient les équations de l'arête de rebroussement en éliminant a entre les trois équations (8), prises deux à deux.

348. Théorème. — Toutes les caractéristiques sont tangentes à t 'arête de rebroussement.

Une caractéristique a pour équations

La tangente en un point M de cette courbe, (pie nous supposons appartenir aussi a l'arête de rebroussement, est représentée par