IX- x)F'Jj?,!/} z,a

Si X — x)F'^(x, y, z, «i = 0. \

Les équations (9) définissent l'arête de rebroussement pourvu que l'on y remplace a par sa valeur ?(a-, y, z) tirée de l'équation

par conséquent, la tangente au point M de cette courbe a pour équations

t{X-œ)\ F'Jx, y, s, ?) -f- F!((.r, y, s, <p) ^

dcol

S X - a-) F^a.y, *,•) -f F^w.y, ar,.)^ -0(*). \

Or, s(ac, y, c-) étant la valeur de a tirée de (11), on a identiquement F"r (x, y, z, <f) = 0. De plus, M vérifiant l'équation (11), -i.w v, s) est égale à la valeur de ;t qui particularise la caractéristique considérée. Donc les systèmes (\2) et (10) sont identiques.

349. Application- — Enveloppe d'une sphère dont le centre parcourt une ellipse donnée et qui passe par le centre de cette courbe.

t'i Nous indiquons par V.c F.ia les dérivées de Fi x, y, z, f par rapport a f .

Nous prenons pour axes coordonnés les axes principaux de l'ellipse et une perpendiculaire à son plan. Les coordonnées du centre de la sphère mobile sont (a eos©, frsin©, 0), œ étant un

paramètre variable; le rayon est égal à \ a2 eos2 © -f- b2 sin2 ©. La sphère a alors pour équation

(x — a eos 'f)2 -f- {y — b ^n '?)" "h z2 — a" *,()*" ? "h ^2 s^n" ?» ou x- -f- y'1 4- s2 = 2a.r eos © -\- 2by sin ©. i 13}

La dérivée de cette équation par rapport à cp est

0 = — 2ax sin ce -j- £% eos ©. (14)

Pour trouver l'enveloppe, on élimine © entre les égalités (13) et (14). A cet effet, on élève les deux membres de chacune au carré, puis on additionne membre à membre; ce qui donne

(x2 + y2 h s3)8 = 4{a2x2 -f ÔV)- (l5)

La caractéristique est la circonférence suivant laquelle la sphère mobile est coupée par le plan qui passe par l'origine des coordonnées et est perpendiculaire à la tangente menée à l'ellipse parle centre de la sphère. C'est ce que l'on voit par l'équation (14), ou par un raisonnement géométrique très simple (291, i°).

Les équations de l'arête de rebroussement s'obtiennent en éliminant 'f entre les équations (13), (14) et la dérivée de (14) par rapport à ©, savoir

0 = 2ax eos © |- 2by sin ».

Si l'on combine la dernière avec chacune des autres, on trouve

œ- .\-y* + ,o2 =0, a2x2 +ÔV = °-

L'arête de rebroussement a un seul point réel, le centre de l'ellipse.

350. Remarques- — L Soient U, V, \Y des fonctions uniformes de «v, y, z. L'équation

U 4-aV = 0 (16)

représente un faisceau linéaire de surfaces : Par tout point de l'espace, il passe une surface du faisceau et une seule, à moins que le point n'appartienne à la ligne d'intersection des deux

surfaces U = 0, V = 0. Cette courbe appartenant à toutes les

surfilées (16), en constitue l'enveloppe. La règle 345) esl en défaut.

1 1. L'équation

U + 2aV + azW 0 (17)

définit un faisceau du second ordre : Par tout point de l'espace, qui n'appartient pas à la fois aux trois surfaces U = 0, Y 0, VV = 0, il passe deux surfaces de ce faisceau. L'enveloppe des surfaces (17j a pour équation

V2— UW -0.

Toutes les surfaces du faisceau et leurs caractéristiques passent par les points communs aux trois surfaces U = 0, V = 0, W = 0; ces points remplacent l'arête de rebroussement.

Cas de deux paramètres.