Considérons les surfaces représentées par

Y(x,y,z,ajj) = (), (1)

les paramètres a, & devant satisfaire à une relation donnée

Elles admettent une enveloppe, dont on peut chercher l'équation par la règle indiquée (345); car. si l'on remplace b par sa valeur tirée de (2), l'équation (1) ne renferme plus qu'un seul paramètre a. En raisonnant comme au § '^(.)0, on est conduit à éliminer a et b entre les équations (1), (2) et

dF ç>? dF df

<)a db ôb da

352. Si les paramètres a, b sont indépendants, l'équation (1)

représente une série doublement indéfinie de surfaces.

On détache une série simplement indéfinie de surfaces en

établissant entre a et b une relation b = ©fa); cette série admet

une enveloppe, qui est le lieu des courbes définies par les

équations

F(<r,yf*,a,&) = 0, FVhFVa-0. (4)

où l'on remplace a et b successivement par toutes les solutions

de l'équation b »(a). Or, pour un même système de valeurs de u et b, la courbe (4), quelle que soit la fonction ©(a), passe par les points qui vérifient les trois équations

Le lieu de ees points est encore appelé V enveloppe des surfaces (1); on obtient son équation en éliminant a et b entre les

égalités (5,i.

353. Théorème. — L'enveloppe louche chacune des enveloppées aux poinls communs.

►Soit M(.\\ y, z) un point commun à l'une des surfaces (1) et à l'enveloppe; l'équation du plan tangent en M à la première surface est

L'équation (1) représente aussi l'enveloppe pourvu (pie Ton remplace n et b par leurs valeurs a = -f(.\\ y, s), /; = •lix, y, s), tirées de

Le plan tangent au point M de l'enveloppe est donc représenté par

où il est sous-entendu que dans les dérivées F'x, F'y, F'z, F,,. F'n, a et /> sont remplacés par -f(.v, y, z) et ■} .w y, s). Après cette substitution, les dérivées F'a, F'b sont identiquement nulles, car les valeurs substituées sont les solutions des équations (7). Comme M satisfait a ces équations, ®(x, y, z et •>(,v, y, z) sont les valeurs de u et /> qui particularisent celle des surfaces 1; à laquelle appartient M. Donc les équations (6) et (Si sont identiques : ce (jiii démontre le théorème.

354. Exemple- — Enveloppe d'un plan qui détermine avec le trièdre OXYZ un tétraèdre de volume donné.

Le plan mobile a pour équation

avec la condition abc = m3. En éliminant c, on obtient l'équation avec deux paramètres indépendant»

x y ab z

Dérivons (10) successivement par rapport à a et à /; :

x bz // az

a- ms h- /y/3

si Ton remplace m3 par <-*6c, les relations (11) deviennent

Le point de contact du plan mobile avec l'enveloppe satisfait aux égalités (9 et (12); il a donc pour coordonnées

11 lui résulte que le plan touche son enveloppe au centre de gravité de la base du tétraèdre qu'il tonne avec letrièdre OXYZ.

En éliminant a, b, c entre les équations (13) et abc ='m3, on obtient pour l'enveloppe la surface asymptote :

1 3 xyz = 0-. m •

Enveloppe d'un clan mobile