Cas de deux paramètres. — Soit
kx-\- Bu | C:. \- D =0 (1)
l'équation d'un plan, les coefficients A. B, C, I) étant des fonctions de deux paramètres indépendants a, b. Ce plan admet une enveloppe, qu'il touche en un seul point, déterminé par les équations (1) et
OA dB ,;c ^ ; ç>D 0
<)a ' r)rt * da * des
On aura l'enveloppe en éliminant a, 6 entre les (1), (2), (3).
359. Cas d'un seul paramètre. — Si les coefficients A, B, G, I) dépendent d'un seul paramètre, le plan (1) admet une enveloppe, qu'il touche le long de la droite représentée par le système
où les accents indiquent des dérivées par rapport à u. L'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant n entre les équations (4).
L'arête de rebroussement de l'enveloppe vérifie les équations
(-1 et
Elle est tangente à toutes les droites comprises dans le système (4).
L'enveloppe peut donc être considérée comme le lieu des tangentes à cette arête: par suite, c'est une surface développable '266). Le plan mobile est le plan oscillateur de l'arête.
357. Exemple. — Trouver la surface d'égale pente, circonscrite à une surface S.
Ou appelle ainsi la surface développable, enveloppe des plans qui touchent la surface S et font un angle donné À avec un plan fixe.
Adoptons trois axes rectangulaires OX, OY, OZ dont les
deux premiers sont situés dans le plan fixe, et représentons
S par
Le plan tangent au point M(a\ y, z) a pour équation (278)
Z-z ,= p{X — oo)~\-q(Y — i/). (7)
S'il fait l'angle a avec le plan xy, on a
Le lieu du point M est la courbe définie par les équations (6) et (8).
La surface d'égale pente est l'enveloppe du plan (7); les quantités variables .v, y, z étant liées par les égalités ((j) et (8), le plan ne dépend que d'un seul paramétre. D'après la règle des
cos a, ou jr -f q- -\- tg- À. (g)
enveloppes (345), la caractéristique esl représentée par l'équu
(ion (7) et la dérivée de (7) par rapport au paramètre. Remplaçons cette dérivée par la différentielle, en faisant varier les trois quantités x, y, z et en tenant compte des égalités de condition ; il vient
— dz = — pdx — qdy + (X — x)dp | (Y — y)dq. (0)
dz = pdx h qdy, (10)
pdp + qdq = 0. (11)
La relation (9), à cause de (10), se réduit à
(X — a-)^ -|-(Y— y)dq = 0; (12
de (11) et (12), on conclut
(X-tf)? — (Y-y)p -=0. (13)
Les équations (7) et (13) représentent la caractéristique. Cette droite est la perpendiculaire abaissée de M sur la trace horizontale du plan (7), ou la ligne de pins grande pente de ce plan.
Pour obtenir l'arête de rebroussement de la surface d'égale pente, nous différcntions l'équation (13); ce qui donne
(X — œ)dq — qdx — (Y — y)dp \ - pdy == 0, ( 1 4)
Mais (110)
dp = rdx \- sdy, dq sdx -f- tdy ;
portant ces valeurs dans les équations (14) et (12), on obtient deux équations linéaires et homogènes en dx et dy. Si Ton élimine dx et r/y, l'équation résultante, jointe aux égalités (7 et (13), détermine le point de l'arête de rebroussement qui correspond au point M de S.
