Coordonnées tangentielles. — I. Soit
\x+ VU !'- 4- 1 = 0 (15)
l'équation d'un plan mobile. À, [a, v devant vérifier la relation
F(X, fx,v) =-0. (16)
Si l'on remplace v par sa valeur tirée de (16), le plan ne dépend plus (pie de deux paramétres À, a, et il enveloppe une surface 352 qu'il touche au point déterminé par l'égalité 15) et ses dérivées
th (h
■ US"0' " ■'■ Zdy.-°-
L'-éq nation de condition (16) donne
pi/ >
substituant ces valeurs dans les égalités précédentes, on obtient
Pour avoir l'enveloppe, on élimine À, jx, v entre (15), (10) et (17). II. Supposons ensuite que X, jx, v vérifient deux relations données
Le plan ne dépend pins que d'un seul paramètre À si l'on élimine ;;. et v entre (15) et (18). 11 enveloppe une surface développabîe, dont la génératrice rectiligne est déterminée par l'équation (15) et sa dérivée
Les dérivées ,; j ~ sont données par
1 à + F ^ Sx ~h F v ,/x - °' / a + / :,. dl + A ^ - 0.
En éliminant ces dérivées, on obtient pour la seconde équa-
tion de la génératrice
X lJ-
' ri
Pour avoir l'équation de l'enveloppe, on élimine À, ;j-, v entre les égalités (15), (18) et (20).
111. Les quantités À, \x., v fixent complètement le plan; on les appelle les coordonnées du plan. Une équation F(X, p., v) = 0 définit une surface, enveloppe des plans dont les coordonnées vérifient cette équation; c'est l'équation tangentielle de la surface. Un système de deux équations F(X, u., v) = 0, /{X, ;j.,v) = 0 définit une surface développable, enveloppe des plans tangents
communs aux deux surfaces représentées par L'ùiie ou L'autre des équations. On voit qu'en coordonnées tangentielles, la surface développable est l'analogue de la courbe en coordonnées cartésiennes.
Remplaçons x, v, z par --> *-» » et À, ;;., v par ; f et p son!
lit z z z
des variables d'homogénéité. L'équation (15) sera remplacée par
Xa?-|-H.y + *sr + p*=0; (15')
l'équation (16), devenue homogène, peut être représentée par
Des égalités (17), on déduit
en tenant compte de (15') et (16'), on trouve facilement
car l'équation (16') donne (116)
XFS + -J.F' +vF", h pF', =0.
Si les coordonnées À, [x, v, p vérifient deux relations homogènes F(X, p., v, p) = 0, flX, p, v, p) = 0, (18')
une génératrice de la surface développable engendrée par le plan (15') a pour équations
la dernière notation signifie qu'on égale à zéro les déterminants formés avec trois colonnes quelconques dn système (20' .
Exercices et notes,
1. Enveloppe d'une sphère «le rayon donne R et dont le centre parcourt une circonférence donnée.
Réponse : (x2 - y2 f s2 + r2 — R2)2 = 4r2(x2 -f y2 1.
2. Enveloppe des ellipsoïdes dont les axes principaux sont dirigés suivant les mêmes droites <>X, OY, OZ et vérifient l'une des relations
lo abc = m3; 2° a2 -f b2
; 4- jV - 6>
ni
Réponse : 1° a- r~ = , : 2° .v i j* i ^ = i »i ; 3" les surfaces passent
par huit points fixes, donnés par .v = i j' = i c = i m.
3. Enveloppe du plan qui passe par les projections d'an point quelconque d'un ellipsoïde sur les axes principaux ou sur les plans principaux.
Réponse
+lf +
1 ou 23.
-1. Enveloppe d'un plan qui rencontre les axes OX, OY, OZen des points
A, 1). C satisfaisant à la relation x -\- 0 -j- : j
