OA OU ~ OC
Réponse :
ar -p- ?/- -f- j- = m-
5. On joint un point fixe S y., o, y) à un point quelconque A d'une circonférence avant pour équations x* -\- y2 = r2, z = 0. Enveloppe du plan
mené en A perpendiculairement à la droite SA.
Réponse : (ax -J- yz -f- r2)2 = r-[(x -f- a)'2 -f- s2 .
6. In plan P se meut de manière que ses distances plt p2, ... pn h n points donnes A,. A2 vérifient la relation
F(pltpti .... pn) = 0.
Démontrer que le point de contact de P avec son enveloppe est la projection, sur I\ du centre de gravité des points Al9 A> \.u charges des
poids
<)F dF àPi ' àp%
àpn
Soit ax -f riij + yz — 8 = 0
l'équation de P, avec la condition
si .v i. ^>-i. z\ sont les coordonnées de Ai. on a
V dépend de deux paramètres, car a, {3, y, o satisfont aux égalités <1 et 1.3). Différentions (1), (2), (3) par rapport à -/, [3, y, 8; il vieil 1
S-3 (ayjrfa | - //,,/'* }- .V/y — rfô) == 0,
xd* \-yd$ | :■((■; - ofô = 0, ud% -f- ptfp -f- ydy = (J.
Si l'on élimine ii; et «Z<$, le résultat aura la forme Mda -f NrfS = 0, et l'on devra poser M = 0, X = 0 (*). éliminons d'abord rfô, ce qui donne
s f [(* - »i)^ h ;.'/ -ViW -h (~ - -iMrJ = o.
Cette équation et l'égalité ao?a [ pr/;3 -f- yo?y = 0 ayant lieu pour une infinité de systèmes de valeurs de c/a, (/[j, dy, on a
Koc-oc,) S(y— yi)— S(y — jrj-
a p y Nl
Les équations (4) représentent la perpendiculaire menée à P par le centre
6>F dF <le gravite des points donnés, charges des poids > > •••
0pl op2
7. Par le centre d'un ellipsoïde, on t'ait passer un plan quelconque P ;
soit 2n la longueur d'un axe «le la section. On mène un plan Q parallèle à
/•- I*. a ia distance • Trouver 1 enveloppe du plan Q. — Cette enveloppe u
porte le nom de surface de l'onde lumineuse Soit 7.x [3j/ | yS = 0 l'équation de I*. Si l'on l'ait
u = - i a = rj 0 — , . > c = -v > v «' // c'
l'équation qui donne u (171) prend la forme
l 'j Quand on cherche l'enveloppe des surfaces comprises dans l'équation
dF cF
F(x, y, z, y., 8) = 0, on pose - = 0. : = 0 ; donc la différentielle*
a y. dp
àF , dF 7r
«a — (l-j est nulle pour toutes les valeurs de aa et ai. dx dp '
Neuberg. — ^4i*. m/'., /. 2a
Le plan <^ est représenté par
xx \- §y Y Y- =■ k~r> à la condition y-~ '/' 4~ y — I ;
il dépend de quatre paramètres y. R, y. v entre lesquels il existe deux relations. Différentions (1), 2), 3) par rapport à ces paramètres; il vient
^ -4—8*- + TEL- -vdvl K2 -,
,v/-, | ^^ -}- :.(h /-',/,- = (), mil 1- «<3 f- y^Y = ()-
additionnons ces égalités après multiplication par — 1. u, ),. Si l'on détermine À et >). par la condition que les coefficients de th., et rit s'annulent, ceux de r/v et r//> voir exercice 6), seront également nuls. On trouve
ainsi :
îl reste à éliminer a, (3, y, v, /., ;j. entre . 2), (3j, i .
Si l'on ajoute les relations A après les avoir multipliées nue première fois
par yy 3, y, une seconde fois par .v. r. r. il vient, en égard à 1 , (2) et •'! :
mi /■' cnI écrit pour .v- \- y- --'. Des équations (i), on déduit
En transposant le premier ternie de chacune «les égalités élevant au carre et additionnant, on obtient
1 , puis
r- — fl''
\ cause de (5) et (6), cette relation se ramené a
.1 on
Substituant les valeurs 181 dans les équations (4J et (7j, on trouve /r.v y.v /;->/ [ir kzs y'"
Si l'on ajoute les égalités (9) après les avoir multipliées par x, y, z, on obtient, en tenant compte de (10) :
Remarque. — On obtient encore la surface de l'onde en élevant par le centre d'un ellipsoïde une perpendiculaire sur un plan diamétral quelconque, égale à la longueur d'un axe de la section de l'ellipsoïde par ce plan.
8. Lorsqu'un plan se meut de telle sorte que la somme des carres de ses distances à des points fixes soit constante, il enveloppe un ellipsoïde ayant pour centre le centre des moyennes distances des points donnes.
9. Une sphère de rayon donné se meut de manière que ses puissances
Pzi Pi 7'n Par rapport à des points fixes Alf A2 An vérifient la
relation Fi /q, />.,,..., />n i 0. Démontrer que le rayon qui passe par le point de contact de la sphère avec son enveloppe, passe par le centre de
<)F ôF oV
gravite des points A,, A.», .. , An, charges des poids -->-->•••>-■
dp} dp, ()pn
10. En un point quelconque M d'une surface donnée S, on construit le plan tangent ;j., qui rencontre un plan donné P suivant la droite m. On l'ait passer par m un plan \jJ perpendiculaire à f/.; soit M' le point de contact de jx' avec son enveloppe. Démontrer que les perpendiculaires élevées eu M à u et en M' à \x se rencontrent en un point du plan mené par m perpendiculairement à P.
11. A, B, 0, 1) étant des fonctions du premier degré de .v, .r. z et À un paramètre variable, trouver l'enveloppe <lu plan mobile
A.X3 -f3BX2 f 3CX -j-1) = 0,
et l'arête de rebroussement de cette enveloppe.
