COURBURE DES SURFACES
Courbure d'une ligne tracée sur une surface donnée. 359. Soit une surface ayant pour équation
Pour les dérivées partielles premières el secondes de - par rapport à .v et y, nous employons les notations connues :
dx dy <>.<■- àxdy dy1
Pour arriver à la notion de la courbure de la surface en un point A. nous étudions la variation de la courbure des différentes lignes tracées par ce point sur la surface.
Soient I A I> Tune de ces lignes {fi g. Qg), A P la tangente, 1> un point infiniment voisin de A. Comme pour les courbes planes 217, le cercle oscillateur en A est la limite du cercle qui touche
Fig f)!h
AV en A et passe par H. AC étant le diamètre du dernier cercle, si Ton mène BP, IUJ perpendiculaires sur AI\ AC, le triangle BAC rectangle en 1> donne
AB*= AC. AU, ou AC
ai; BP
abaissons oncoro BM perpendiculaire sur le plan tangent mené en A à la surface ; nous aurons KM II P eus M 151' et , par
suite,
k , AB!cos MBP A' - BM '
Le rayon de courbure R est la limite de ^ÀC quand \> tend
vers A. Or, a la limite, la corde AI> peut être remplacée par Tare AH = At (241) cl même par la différentielle <h< ~ représen tant l'arc IA de la courbe compté a partir d'une origine quelconque 1 ; les droites BM, A P ayant pour limites la normale A X à la surface et la normale principale a la courbe IAIJ, on peut substituer l'angle 0 de ces deux normales a l'angle MBP. La formule (2) donne ainsi
R - lim Jj^j cosO. (3)
Les coordonnées des points A, H étant x, y, z et x -f- Xv,
y | Ay, ~- | Az, l'équation du plan tangent en A est
et la distance de 1> à ce plan a pour expression
BM -^-^-VV.
\ 1 hp2 I T
En attribuant au radical un seul signe, nous admettons que BM (et par suite R,) change de signe lorsque la courbe I A B passe d'un côté du plan tangent a l'autre.
Remplaçons A.v, Ay. Ac par les valeurs (238, II
\.r=-=f/.c \ ~d*x. |- ..., \y = dy \--d2y . ...,A; dz -\~ ^d2Z \- ...;
nous aurons
(lz — pdx — qdy !- - ■-:• — pdzx — qcPy) f- t, BM =
\ i -hP2 i r
r, désignant un infiniment petit d'un ordre supérieur au second.
La courbe IAB appartenant à la surface (1;, les coordonnées de M et leurs différentielles vérifient les égalités (*)
dz — pdx - 1 - qdy, dlz rdx'1 -f- 2sdxdy \ tdy2 -\- pd2x \- qdry\
en substituant ces valeurs de <lz e( d2z, on obtient
BM rdx2 + 2sdœdy \ tdy2 \ 2u §
A \ +i'-' Vf
La formule (S) donne ensuite
H -lim , ^ \ V,1'] ' ?-?*?- cos 6. (4)
rdx2 -f 2sdxdy \- tdy2 + 2r,
Soient a, S, -; les angles directeurs de la tangente AP ; on a (242)
COS X - -- i cos p ri 1 1I1Î , ().
Donc. si Ton divise le numérateur et le dénominateur de la fraction (4) par (h2, on obtient
\ 1 -I- »- 4- r/2 r cos- a -j- 2s cos a cos ^ |- / cos- p
Telle est la formule qui nous sert à étudier la courbure des lignes tracées par un même point sur une surface donnée.
Elle montre immédiatement qu'une ligne gauche tracée par A sur la surlace a même courbure que la section de la surface par le plan oscillateur de cette ligne en A.
