Théorème de Meunier. -- On appelle section normale
d'une surface en un point A, la ligne suivant laquelle la surface est coupée par un plan quelconque passant par la normale.
*i On peut supposer les équations <le la courbe IA1> sous la forme
ces valeurs de x, y, s et leurs différentielles vérifient identiquement les égalités
Z = F(.r, y), dz pdx -f qdy,
d2z dpdx -f- dqdy -f- pd2x -[■ qd*y
.— rdx2 | 2sdocdy tdy2 | pd2x \ qd2y.
Soienl (*) : AN la normale en un point A. d'une surface ; AD une courbe (quelconque tracée sur lu surface, '•>' son eenlre • le courbure, AT la tangente; AI) la section de lu surface par le plan normal NAT: R cl p les rayons de courbure A'/, \<" <l<-^ courbes Al), Al); (> l'angle des normales A"», \«,\ H est donné par la formule (5), et r résulte <lc la même formule où l'on fail 8 0, <le sotie que
)' COS2 '/ | 2s COS 7 ('I)S [3 | / cos-
d'où
2s cos a cos [3
: cos 0.
Donc : Le centre de courbure w' d'une courbe AI) tracée sur une surface est lu projection, sur le plan oscillateur, du eenlre de courbure w r/c /<•< section normale A I) ayant même tangente AT.
Voici une conséquence immédiate de cette proposition :
Les cercles de courbure de toutes les courbes tracées pur un même point A &«r une surface et ayant même tangente AT, no/// situés sur la sphère (jui a le même eenlre et le même rayon que le cercle de courbure de la section normale passant par AT.
Remarque. — I^e théorème de Meunier ramène l'étude de la courbure des lignes tracées par un même point sur une surface, à celle delà courbure des sections normales passant par ce point.
Courbure des sections normales;
361. Sections principales. — Etudions la variation du rayon de courbure p en un point A lorsque la section normale tourne autour de la normale A.Z fig. ioo), A cet effet, nous prenons
Fis ioo.
pour axes coordonnes la normale AZ et deux droites rectangulaires A\\ A Y tracées dans le plan tangent. Le plan tangent
{*) Le lecteur est prie de l'aire la figure.
ayant alors pour équation Z - 0, ou a nécessairement /) = 0, 7 - 0. Comme [3 = kJ — a, la formule (6) du ?; 360 devient
r cos- x 2s cos 2 sin % — t sin2 a.
Cherchons les maxima et minima de * Les valeurs corres-
pondantes de a annulent la délivre de par rapport à * ; donc il faut poser
2(7 — r) sin a eos a -|- 2s feos2 z — sin2 a) -- 0,
d'où, successivement,
(/ — ri siu 2a h 2* ^'()S 2a = 0, 2)
te2« -
L'équation (3) définit deux directions rectangulaires AX', AY' (*), même si r = t ou si s = 0, ainsi qu'on le voit par 1 égalité (2) ; AX', AY' sont les directions principales au point A.
On donne aux sections laites dans la surface par les plans ZAX', ZAY' le nom de sections principales ; pour Tune d'elles, p passe par un maximum pl5 pour l'autre par un minimum p, (**). p, et p2 sont les rayons de courbure principaux de la surface en A.
Si s = 0, les sections principales sont contenues dans les plans coordonnes ZOX, .ZOY.
• si a est le plus petit arc positif axant pour tangente ,• on peut
faire 2a = ce, y (-«, ce | 2~. ...: don * = |. | + f. £ j " H suffit île
considérer le6 deux premières valeurs de a. " La dérivée du second ordre de
P 2[t ■— /') cos 2* — 1s sin 2a,
prend des valeurs égales et de signes contraires quand on remplace 2a par es et par tp -j- -.
362. Formules d'Euler. — Si les plans des sections princi pales sont les plans ZOX, ZOY, on a s 0, et la formule I devient
= r cos2 y- \- t sin2 -/. (4)
Les l'ayons de courbure principaux pn p3 correspondent main tenant à « = 0, / = ; donc /•, /, et la relation ( [)
~ Pi ?2
prend la forme
cos2 » sill- a. (.»)
P Pi P2
Soient pr, p" les rayons de courbure de doux sections normales qui font entre elles nn angle droit; si a et a -| -sont les angles de ees sections avec le plan ZAX, on a
, cos- 'x [- sur x, fj ? = sin- y. cos- a;
P Pi ?2 ? Pi ?■:
en ajoutant ces égalités, on trouve
Pi
Donc, la somme, des courbures de deux sections normales perpendiculaires enlre elles est constante.
