On peut distinguer trois cas
1" r et / ont le même signe, par exemple le signe | . Le signe de p est invariable; doue la surface est. dans le voisinage de A, d'un même coté de son plan tangent. L'indicatrice est elliptique [fig- toi); la distance de A à un point de cette courbe Fis?, mi. Fisc. loa. Fig. io3.
allant en décroissant, puis en croissant lorsque T va d'une extrémité du grand axe a l'autre, le rayon de courbure p va d'abord en diminuant, puis en augmentant. Les centres de courbure des sections normales sont compris entre les deux centres de courbure u>n w2 des sections principales.
La surface est dite convexe au point A ou à courbure totale positive.
On appelle tangentes conjuguées en un point A d'une surface de.ix diamètres conjugués de l'indicatrice. Il résulte d'une propriété de l'ellipse que lu somme des rayons de courbure de deux sections normales menées pur deux tangentes conjuguées est constante.
2° r et / sont de signes contraires, par exemple r 0, / 0. Si l'on met le signe de / en évidence, on a
= r COS2 a — t siu2 a = / eos- a / — tg- a
Désignons par Ail, AIT' (/*#'. 102) les deux droites du plan tangent qui font avec l'axe des a\ de part et d'antre, l'angle qui
a pour tangente \/ > et soient AK, AK' leurs prolongements.
Lorsque la trace AT d'une section normale est comprise dans l'angle II AU', p est positif, et la section est située au-dessus du plan tangent; lorsque la trace passe dans l'angle HAK', p est négatif, et la section normale passe au-dessous du plan tangent; les sections comprises dans les plans ZAH, XAIif ont une courbure nulle, ou un point d'inflexion en A.
La surface est dite ïi courbures opposées ou à courbure totale négative au point A.
Un hyperboloïde à une nappe, an paraboloïde hyperbolique sont des surfaces dont la courbure totale est négative en chaque point; les droites ILK, HfK' sont ici les deux génératrices rectilignes de la surface passant au point considéré.
Le tore engendré par une circonférence tournant autour d'une droite fixe située dans son plan et ne rencontrant pas la courbe est à courbure totale positive en tout point de la partie engendrée par la moitié de la circonférence génératrice qui est coucave vers l'axe; elle est à courbure totale négative en tous les [joints de la partie engendrée par l'autre moitié.
L'indicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées, ayant pour équations
rx2 — ty- = l, rx~ — t>./~ = — /,
et pour asymptotes communes les droites HK, H'K'. La première hyperbole correspond aux sections normales passant dans l'angle II'AH, et la seconde aux sections passant dans l'angle HAK'. La première hyperbole suffit pour représenter la courbure des différentes sections normales; car les carrés de ses diamètres dits imaginaires sont égaux en valeur absolue aux carrés des diamètres réels qui, dans la seconde courbe, ont la même direction.
Les droites HK, H'K' sont appelées les directions asymptoliqnes de la surface au point A.
Si Wj, w2 sont les centres de courbure des sections principales, ceux des autres sections normales sont extérieurs au segment
3° L'une des dérivées r et f, par exemple r, est nulle. Ou a
= t si u- % ;
est <le signe invariable, s'annulant seulement pour x = 0.
L'indicatrice a pour équation
tif =1;
elle se compose «le deux droites parallèles m, m {fi g. io3). Le rayon de courbure est proportionnel au carré du segment de la tangente compris entre A et /// : un minimum correspond a la section perpendiculaire à m, tin maximum p = oo à la section parallèle a m.
Le point A est maintenant un point parabolique; on dit aussi que la surface a, au point A. une courbure totale nulle. Tout point d'une surface développable est unpointparabolique.
366. Remarques. — I. En un ombilic, tous les rayons de courbure des sections normales étant égaux, l'indicatrice est une circonférence.
IL Lorsque les plans ZAX. XAY ne coïncident pas avec les
-cet ions principales, l'indicatrice a pour équation
rx~ ;- 2sxy }- ///- = l\
c'est une ellipse, une hyperbole ou un système de deux parallèles suivant que
vl — s~ > 0, rt — s2 <0, rt
367. Paraboloïde OSCulateur. — Les axes étant la normale A/ et les directions principales, soit r Li.w y) l'équation de la surface. Si l'on développe Ki.wy) par le théorème de Mac- Laurin d35i, on trouve
ffa F(o,o) | ^F'x(o,o ; yF'y(o, o) -h ^2^^(0,0) +...] + .-. Au point A. p — 0, q 0. s ■- 0 ; donc la valeur de : est
\>. désignant l'ensemble des tonnes d'un degré supérieur au second.
Si Ton attribue à x et y des valeurs infiniment petites du premier ordre, l'équation précédente se réduit sensiblement à
z=\[rϡ- | ur). (3)
Elle représente un paraboloïde elliptique, un paraboloïde hyperbolique ou un cylindre parabolique, suivant que r et / sont de même signe, de signes contraires ou que Tune de ces quantités est nulle. Dans les deux premiers cas, la surface (3) est appelée paraboloïde oscillateur; ses plans principaux coïncident avec les sections principales de la surface proposée. Dans le troisième cas, A est un point parabolique, et la surface se confond sensiblement, dans le voisinage de ce point, avec un cylindre parabolique.
