Seconde définition de l'indicatrice. — Coupons la
surface proposée par un plan V parallèle au plan tangent VA' Y et mené à une distance infiniment petite Ali h (flg'. i<><>). D'après ce qui précède, la projection de la section sur le plan xy a pour équation approchée
2h rx* !- ///'-' :
on voit que cette courbe est semblable à l'indicatrice, circonstance qui s'explique facilement. En effet, si I* coupe le plan d'une section normale XAT suivant la droite II M, le rayon de
,AM . Mil
courbure de cette section est la limite du rapport . ou de %) . ;
il est donc proportionnel a M H puisque AIL est constant pour toutes les sections normales, pourvu qu'on néglige les infiniment petits du troisième ordre. Or, pour construire l'indicatrice, nous avons porté sur la trace AT de la section normale une longueur AP égale à \ h (367), par suite proportionnelle à Mil ; donc le lieu de T est une courbe semblable à la section de la surface par le plan P.
Lorsque le point A est a courbures opposées, on mené deux plans P, P' parallèles au plan tangent, de part et d'autre, et on projette les sections de la surface par ces deux plans sur le plan tangent; on obtient ainsi deux hyperboles conjuguées, formant une courbe semblable à l'indicatrice.
Rayons m; courbure principaux.
369. Cherchons les sections principales en un point A d'une surface, les axes coordonnés étant quelconques.
La formule donnant le rayon de courbure d'une section normale peut être écrite ainsi :
r cos2 a \- 2s cos a cos cj -\- I cos2 |3.
Posons u = r cos- a \- ?.s- cos a cos ri \- t cos2 p ;
nons aurons à déterminer le minimum et le maximum de ». Les angles a. p, y vérifient les égalités
cos- a -|- cos- [i h cos2 y = 1, p cos a -}- q cos p — cos y = 0; (2)
la dernière exprime que la tangente à la section et la normale à la surlace sont rectangulaires. Si on élimine cos y, on trouve
cos' a - 1- COS- 'i -}- (/J COS a -J- 7 COS |3)2 == 1,
on (1 ~{-jr) COS- a 4- 2pq COS a COS j3 -f (1 + 72) COS2 (3 =■ 1. (3)
77 dépend des deux variables cos a et cos [i, liées par la relation (3) ; pour trouver son maximum ou son minimum, nous posons r/77 = 0 et nous différentions l'équation de condition. Xous aurons ainsi :
(r COS a -}- s cos Vi'/eOS a -f- (s COS a -j- /cos |3)a?cos 3 = 0,
[(1 -|-;/*'»cosa f-y><ycos;J|'/cosa h [y>7 <-*os a4-(l -f- #2) COS J3]fl?COS j3 =0:
d'où, en éliminant les différentielles d cos a, d cos S :
r cos a -f- 6- cos 3
5 COS a -|- t COS P
(1 + i>~) eos a + P# oos ? y/ry cos a + (1 + <72) cos ? Ordonnons l'équation (4) par rapport à cos a et cos 3; il vient
P0T — (1 + ;/>"|cosRa-f[(l 4. q*)r-(l +P*)t] eosacos p j + [(l+î2)*— P?*]eos2|3 = 0, i
COS a
égalité qui détermine le rapport - »• Les égalités (5), (3) et (2)
cos p
font connaître la position des sections principales.
Chacun des L'apporta (4) est égal à // ; car si on les additionne tenue à ternie après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur du premier par cos a, ceux du second par cos fJ, on obtient un rapport égal aux deux rapports (4); mais, eu égard aux relations (lf) et (3), le nouveau rapport se réduit. à //. Cela posé, en (''galant à u les deux fractions (4), on trouve
[r — u{\ -j- p~)\ eos a |- [s — upç] cos (3 = 0, (x — upq) eos a -f- [* — w(l -j- 72'] ('os [3 = 0; en éliminant eos y. et cos (3 entre ees deux égalités, on obtient
[r — m(1 +p»)]p— m(1 -l-g2)]-(s-îrf -0, ou
(1 ! V ! ?>2-[M' + Ps) + KM-îs)-.2ptf*l" M-*! 0.
V 1 -h 30 s 4- <r Remplaçons u par sa valeur ;nousauronsl equa-
tion aux rayons de courbure principaux :
En un point parabolique, une valeur de p est infinie; un tel point vérifie donc l'équation ri — s2 0 Cette équation, jointe a celle de la surface, détermine un lieu de points paraboliques, à moins qu'on n'ait identiquement ri — s"- 0, auquel cas la surface est développable.
370. Ombilic. — Toutes les sections normales avant même courbure, chacune d'elles peut être considérée comme une section principale. Donc les deux racines de (6) sont égales, ce qui exige
[(l+p2) + r(l + q*)-2pqsY — (\ j p* + qs) {rt — s*) = 0.
Le premier membre de cette égalité peut se mettre sous la forme d'une somme de deux carrés; en égalant à zéro chacun de ces carrés, on obtient les équations
' r+p* s=zpqss 1 -H?r
On y arrive plus rapidement en exprimant que la valeur de r eos2 a | 2s cos a cos p -J- £ cos2 /
( l -h P') cos2 7~ -/"/ c'os * c'os ? + (1 + ?2) cos" ^
est indépendante du rapport eosa:eosfJ; «loue les coefficients du numérateur sont proportionnels à ceux du dénominateur. On peut aussi égaler à zéro les coefficients de l'équation (5).
Les équations (7), jointes à celle de la surface donnée, déterminent en général, un nombre fini d'ombilics. Si ces trois équations se réduisent à deux ou même à une seule, la surface possède une ligne d'ombilics ou est une sphère.
Dans les surfaces du second ordre qui admettent des sections circulaires, les ombilics sont les extrémités des diamètres conjugués avec* ces sections; car un plan parallèle au plan tangent en un ombilic coupe la surface suivant une courbe semblable à l'indicatrice.
371. Courbure totale, courbure moyenne. — Soient p,, p2 les rayon., de courbure principaux en un point A(a\ y, z) d'une surface.
On appelle courbure totale au point A le produit des courbures des sections principales, et courbure moyenne la demisomme de ces courbures. Ainsi :
ri y / / l
(A)urbui'c totale =
ru
(1 + P2 hq2)2 '
Courbure moyenne = -I- 1 = - ..
Si les rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires, la courbure moyenne est nulle; l'indicatrice est alors une hyperbole équilatère. Une surface dont la courbure moyenne est nulle en chacun de ses points, est appelée surface minium ou élassoïde; on rencontre ces surfaces dans le problème de géométrie suivant : Etant donné un contour ferme dans l'espace, trouver, parmi toutes les surfaces continues passant par ce contour et suppurant sur lui, celle qui a Vaire la plus petite possible.
Lignes de courbure,.
372. Ou nomme ligne de courbure d'une surface, une ligne ii-acer sur cette surface et tangente en chacun de ses points à iune des sections principales.
Pour expliquer la génération d'une telle ligne, soit A an point quelconque do la surface; sur la section normale à courbure maxima qui passe par A, prenons un are infiniment petit AH; sur la section à courbure maxima qui passe par B, prenons un
arc infiniment petit BC ; et ainsi de suite. Nous formons ainsi un polygone curviligne ABCD..., dont les côtés sont des arcs de sections principales en l'une de leurs extrémités. Ce polygone, si Ton fait décroître indéfiniment les longueurs de ses côtés, a pour limite une ligne de courbure.
Il passe par A une seconde ligne de courbure, tangente en chacun de ses points à une section normale à courbure minima.
Les deux systèmes de lignes de courbure constituent un double réseau orthogonal.
