h '"' "" n(» + 1) NEUBERG. — An. In/', I

On prend quelquefois des groupes de termes consécutifs d'une série pour termes d'une nouvelle série.

rr . , 1 1.1,1 11,1 1,

Exemple.- l + g-gH , I 5-6+7+8 ~ <,H »•.

2 3 4 5 0 Su — 2 Sn — 1 3)i

2. Séries convergentes. — On distingue trois espèces de séries : 1° les séries convergentes ; 2° les séries divergentes : 3° les séries indéterminées.

Une série est dite convergente lorsque la somme Sn des n premiers termes tend vers une limite finie et déterminée, à mesure que n augmente. Cette limite, que nous représentons par S. est appelée1 la somme de la série ; nous convenons d'écrire :

Posons S — S„ — Rn : Rn se nomme le reste de la série.

Une progression géométrique, illimitée et décroissante, est une série convergente. Comme second exemple, soit la série

on trouve aisément en décomposant chaque terme en deux autres :

d'où lim Sn = 1. La série proposée est donc convergente et a pour somme l'unité.

La série (1) est un cas particulier de la suivante :

«<< ; h) ' (a f-A a-h2A) ! (a + 5? A) (a + 3/i) ' * ' aÂ'

3. Séries divergentes. — Luc série est dite divergente lorsque la somme des >/ premiers termes peut croître, en valeur absolue, au delà de toute grandeur assignable.

Exemple. — 1 ! 3 j 5 -f 7 + ... .

Pour démontrer la divergence de la série harmonique (:|:)

1 + g + g + jH -. (1)

groupons les termes ainsi :

Si on remplace les ternies d'une parenthèse par le dernier d'entre eux, chaque parenthèse prend la valeur ~ ' Donc la

somme des termes de la série jusqu'au terme 9a est supérieure

à 1 | - 0; comme elle croît indéfiniment avec n, la série est divergente.