Exemples d'infiniment petits. — Soit x an are infiniment

petit principal; sin x ettgac sont des infiniment petits du 1er ordre, 1 — cos x est du 2(' ordre, tg x — sin x est du 3° ordre.

En effet, on démontre, en trigonométrie, que les rapports

sin x tg x

> tendent vers l'unité si x tend vers zéro; donc sin a*

et tg x sont du 1er ordre et ont pour partie principale x.

On a

lim

,1 Z sin- x

= h ni = h m -

( • 1 sin ./'

1 — cos A' est donc du 2e ordre et a pour partie principale .^ a-.

tgA — sin a est du 3e ordre et a pour partie principale m- a3;

car

tga?(ï — COS.r) i# tg#,. 1 — cos a? 1

t&'j; - siiu.' lim ■ , a?3

lim '^l 5.- = lim — - lim

Remarque. — L'ordre d'un infiniment petit peut ne pas être déterminé* Par exemple, soit

Lorsque x tend \crs zéro, sin - varie entre — 1 et | 1 sans tendre -vers

une limite déterminée. La variable y peut devenir et rester moindre qu'une quantité donnée, quelque petite qu'elle soit ; doue y est infiniment petit avec x. Mais son ordre infinitésimal est indéterminé; car les rapports v r \"

-vj - ' \ , ont respectivement une limite indéterminée, nulle, infinie.

x~ x*—" rv*+"

23. Théorème. — L'ordre d'un infiniment petit ne change pus si l'on prend pour infiniment petit un infiniment petit quelconque du premier ordre.

Soient a l'infiniment petit principal, et

deux mitres infiniment petits. On a

= > cl OU 1 1 111 — = -■ •

Le rapport ~ ayant une limite finie, y est aussi par rapport

à 3 un infiniment petit d'ordre ;*.

24. Théorème. — /^* somme d'un nombre déterminé d'infiniment petits d'ordre n est un infiniment petit d'ordre n ail moins.

Soit x l'infiniment petit principal, et soient yi^^ + ej**, y2 = (A, -f e2)^n, ..., yP ==■ (Ap + ep)aïn des infiniment petits d'ordre n. On a

y, 4-//H- •• -f yP = (A + *)*n,

après avoir posé

A! -f A, + ... -f Ap = A, 6l + H + .- h *p = e.

= tend vers zéro avec x. En général A /- 0: par suite la somme y. ! >*2 + ■•• + )"p est un infiniment petit d'ordre n, ayant pour partie principale A .y", c'est-à-dire la somme des parties principales de yu y.,, ... -yv.

Si Ton avait A = 0, la somme y1? -f y,, -f- ... -f- yp serait d'un ordre supérieur à n.

Remarque. — En général, la somme d'un nombre déterminé d'infiniment petits de différents ordres n. />, q, ... est un infiniment petit d'un ordre égal au plus petit des nombres //, p. q...

25. Théorème. — Le produit d'un nombre déterminé d'infiniment petits est un infiniment petit dont l'ordre est égal à In

somme des ordres des /'ne leurs.

Il suffit d'établir la proposition pour deux facteurs. On a

(A, + h>« X (A2 + s2).rP =- (A,A2 + A^ -f At£2 + hz2)x" ! p ;

comme A3e, -j- A1£2 H- £i£2 est une quantité infiniment petite, le produit est d'ordre n -f- p et a pour partie principale A1A.,./;"1;, ou le produit des parties principales des facteurs.

26. Théorème. — Le quotient d'un infiniment petit d'ordre n par un infiniment petit d'ordre p est d'ordre n — p .s/ n > p.

En effet,

(A, + £>« : (A, -1- y.rP = ^-± || œ*-*= ^ + ^ *>;

car la fraction - . - qui a pour limite -~ est de la forme r-i -f- e,

où i représente un infiniment petit.

Remarque. — Si n < p, le l'apport des deux infiniment petits est infiniment grand. Si n = p, ce rapport a une limite finie.

Substitution des infiniment petits.