Objet de l'analyse infinitésimale. Les infiniment petits
sont introduits dans un grand nombre de questions pour rendre plus aisé le calcul des quantités finies Ils donnent lieu à deux genres d'opérations :
1° Trouver In limite du rapport de deux infiniment petits qui dépendent l'un de l'autre; 2° trouver In limite d'une somme d'infiniment petits dont le nombre croit indéfiniment.
Le premier problème et ses applications font l'objet du calcul différentiel ; le second et ses applications appartiennent au calent intégral.
La solution de ces problèmes est souvent simplifiée par les deux théorèmes suivants.
28. Théorème I. — La limite du rapport de deux infiniment j)etils n'est pas changée quand on remplace ces quantités par d'autres dont les rapports aux premières tendent vers I unité.
Soient x, et y., deux infiniment petits, pj et fJ2 d'autres infiniment petits tels que l'on ait
liin ' L = 1, limr2 = 1. (1
Ou peul écrire
Pi
1 + eii " = l+38,
on ri - (1 + s,)*,, h == il M2K, (2)
s, et r, étant des nombres infiniment petits Par conséquent
ri ■» i £i ai i • .J î i • ai
„--- = - • li m li ni
29. Théorème II. — /><* limite de la somme d'an nombre infiniment grand d'infiniment petits, Ions de même signe, ne change pus quand on remplace chacun d'eux pur un nuire dont le rapport nuée lui n pour limite V unité.
Soient
des nombres, de même signe, qui tendent vers zéro quand // croît indéfiniment, et tels que leur somme tende vers une limite déterminée S.
Soient
ij Q 0
lJ 1 ' r2 " • • ' lJll
(Vautres infiniment petits tels qu'on ait
lim^=l, limfe 1, lim^=l,etc. (1)
ûCj a0 a3
Les égalités (1) sont équivalentes à celles-ci :
Pi — (1 + «j)*i, P8 = (H-e£)«*. rs^U + ^K, ..-, (2) îP i,, ... étant des quantités infiniment petites. On en conclut :
ri I r2 ! ••• I rii==(«i-!-*2 -1--.. + ^) -I-Km + ^..-1-.. ) (3) Soit r, la plus grande valeur absolue des nombres s;, e2, ... ; on a
I «l£l I *2£2 I •• f" ^n-ii | <(ai +a2 + •'• H aii) X r<-
Comme *, -\- a2 -|- .. | xn tend vers une limite finie S et quoi, tend vers zéro, on a. pour n oo,
lim | «je, 1 dc2e2 -|- ... -f- anen | = 0.
Il en résulte
lim (p, |- (32 + ...) = lim,^ + «2 | .... = S.
