CIX (IX
, , , . , du d-u des dérivées 1± - » 7j7> • • dt dt-
Pour résoudre ce problème, dérivons les équations (9) par
rapport à / en considérant x,y,u comme fonctions de t; les
, ,., , . , . - . f/\v dy d-x d2y
égalités ainsi obtenues tout connaître „ > ; > — r i — ^-j ••• en
ai dt dt2 dt-
f onction de ■■Tr » -^ -> ■•• Il reste à porter ces valeurs dans les dt dt-
383. Exemple. — Transformer la formule (b) (381) en coordonnées polaires.
Les formules de transformation des coordonnées sont
x = r cos 0, y = r sin 8.
On en tire en prenant 0 pour variable indépendante,
dx , dr
- = eos 0 -
f/0 (ft
. „ du . A dr , r sin 0, :, = sm 0 — - -\- r eos 0; ' d<) db
d-x , d-r . . dr
„ , = eos 0 -— 2 sm 0 !n r eos 0,
dbz f/0- r/0
dà - sm ° diï
2 eos 8
dr
là
r si n o,
Portons ees valeurs dans (4) et (5) après avoir changé / en 8; il vient
• a dr , siu 0 — - - rcosf)
eos 0 — ;• *in 0
cfr \a } d*r
dû I '~rd&
dr '■
eos 8 — r sin 0
La formule cherchée est doue
Se
(rs + *"«)
, > ou R= ... . ,., '-;* r- -|- 2r - -
r' et r'' désignant les dérivées de r par rapport à 0.
dv ' 2 r/-
rr
Fonctions de plusieurs variables.
384. Changement des variables indépendantes. — Soit s une fonction des variables x, y. On introduit deux nouvelles variables u} v définies par les équations
x = flu, v), y = cp(w, ?•);
ce qui permet de considérer z comme fonction de u et y. Cela posé, on demande d'exprimer les dérivées partielles
dz
ùz
du ~ Pi dy = q> dx* = r' dxdy . = S' dy* ' '
en fonction des dérivées partielles
dz dz dzz ô2z
ST=Pl' dès~qit du*==ri' ~dudv~Sl' ^ =tl'
dv'
Pour résoudre ce problème, ou pourrait regarder c comme fonction immédiate de //, v et ces dernières variables comme dépendant de .v, y.
Alors la règle da< fonctions composées (69) donne, par exemple,
ôz Oz du , dz àr
dx ôliùx àr dx
les équations (1) étant dérivées par rapport à .v, ou a aussi
OX OX ÔX • <)ir
d'où Ton tire r->^-* valeurs qu'on substitue dans la relation (2). ùx dx
La méthode suivante est plus élégante et souvent plus commode. On a
dz = pdx -!- qdy\ (3) v- ■ dz --= pAdu -f qxdv, | |)
et des égalités (1) on déduit
dx -= ' </« -f / dr, <&/ - - ■ du • dv. (5)
An moyen des valeurs (5), la formule (3) devient
dz =[p - -f 7 • W,< -f p- y --■ w/r.
Comparant à la relation (3), on trouve
d'où l'on déduit /) et q en l'onction de />1 et g^
De même, x et y étant considères comme fonctions de u, v :
dH = rdx~ 4- 2.sy/.iy/// -1 ^///2 -{- pe^ -f r/-//, (6)
ri1** = rxdu? -f- 2sxdudv -f V/r-, (7)
d2* = fC^|o ^/ dudv+^Çdv*, (8)
d*y = f!^- 12 ~f tfi«fo + ^!i<fc*. (9)
Remplaçons, dans (0), dx, dy, d*x, tf2ypar les valeurs (5), (8), (9) ; puis identifions eette expression de d*z avec la valeur (7j. Xous aurons trois équations desquelles on tire les inconnues r, s, /.
