Application. — Transformer l'équation

en prenant pour variables indépendantes les coordonnées polaires p, 0.

Les foi-mules x = p cos 0, y = p sin 0 donnent

dx = cos 0 dp — p sin 0 c£6, cty = sin 0 dp -f p cos 0 dO, (10) d2# = — 2 sin fi dpdO — p cos 0 d&, d*y = 2 cos Grfptfe — p sin 8û?82 .(11)

Substituons les valeurs (10) dans l'équation (3); il vient dz = (p cos 0 -}- g sin 0)dp -f- ( — ;) sin G -f ç cos 6)ptf0. Comparant à la relation

on voit que

* = % d? + S rf6>

fl cos 0 4" Q Sin o = --» — p sin 0 -j- g cos 6 = - ;

de ces égalités, on conclut

dz , 1 r); . , » == eos 0 - sm 6, <i

dz p du

dz . . , 1 dz -r-smô-f- — cosO.

dz p Ou

Portons maintenant les valeurs (10) et (11) dans l'équation (6); nous aurons pour d*z une fonction homogène du second ordre en dp et c?6, qui doit se confondre avec l'expression

5 dp* + 2 f'' tfptfG -f °": d8«.

rfp

rW

On en conclut d2*

dp*

db-

r cos2 0 + 25 cos 6 sin 0 + ( sin2 0,

p2(?' sin'2 G — 2s si,n 0 cos 0 r / cos- G) — p(p eos G -f </ sin 0)

Ajoutons ces équations membre à membre, après avoir divise

la seconde par -J ; en égard à la valeur (12) de ~ > on obtient ' dp

d*Z { 1 d°~z 1 dz

dp2 o2 à() a dp

Or, l'équation proposée est r 4 £ == 0; doue la transformée est *, 1 ^ l*