Changement de toutes les variables. — Soit z une

fonction des deux variables indépendantes x, y. On introduit trois nouvelles variables u, v, w, définies par les équations

x = f[U, r, m?), y = f^u, v, ta), z -■ f,[t(, r, w); (1)

la relation entre x, y, z se transforme ainsi en une relation entre u, v, w, et l'on considère alors w comme fonction de u, v. Proposons-nous d'exprimer les dérivées

dz dz 0-z d-z d-z

dx~P' dy <?' ôx- r' dxdy ' St dy* ~~

en fonction des dérivées

dw dw dho d~w d'2w

Tu=Pu dï=qi' àu-^*'1' àuàv^*^ dô* =t

On a

dz = pdx -j- qdy, (2) dw = p^w 4 Qidv, (3)

et les formules (1) donnent

cte — ^ di*+ v rf»+ ^ c?«?, (4)

dy -■= à(] du -|- df; dv + -f '- rfw, (5)

ou dv dw

dz = ^ du 4 ^ dv 4 ^ <*". (6)

dit ov Ou-

Si Ton substitue ces valeurs de dx, dy, dz dans (2), on trouve

V o^c ' ou: ' ou- J V au L Ou du J

* f àf . à/\ df2\

Telle relation entre du, dv, dit) ne peut différer de (S) ; on déduit de là deux équations ({ni feront connaître /) et <j en fonction de px et q.x.

On procède de la même manière pour les dérivées d'ordre supérieur. Considérant z comme fonction de .y, y, et .v, y, w comme fonctions , des variables indépendantes u, ?;, on a

d'lz = rdx~ -j- 2sdxdy -f- tdy~ -\-pd~x -f qd2y, (7)

d2ir )\<luz -{- 2sxdudc -f- txdc-, s.

d2x = £Çdu* ! g^t+|ïrftt,»,4-2 /'Y riftffe

dit2 rjr- ^#- OUOtO

±:2^f-dvdw h 2 ^ drd*c \-°J d-,r,

0170*0 0tf02C C/MJ

a * j — , ; cm- . .

ûw

On remplace r/.\\ r/y, (/-'.v, t/2y, ^/;>c par leurs valeurs dans (7), ce qui donne une relation entre d2w, du, dv; l'identité de cette relation avec (8) s'exprime par trois égalités, qui font connaître r. s, /.

Exercices et notes.