Si l'on pose

X = ax + by + cz, Y *= a'x + //// -f c'z, Z a"œ -f b"y -^ c"z, on a

c)-v r)=v , d»v „, , , ,, , „. r)2v , ov , ,,, , , ,r-\

& + à? + S* = Mft" + * + ° ' «i + -"" + ** ^ CC,^Y •

Si les deux systèmes de coordonnées sont rectangulaires, le second membre de cette égalité se réduit à

d«V ')-Y <r-Y i 2 ' iwâ " ,r/'-

dX2 7. Transformer l'expression

dZs

àx2 + fy2 + ds2

en passant des coordonnés x,y, z d'un point M aux coordonnées sphériques p = OM, 0 = angle MOZ, cp = dièdre MOZX. Les variables x, y, z sont liées à ces coordonnées par les formules

z — p eos 6, se = p sin 0 cos cp, y = p sin 0 sin ©.

Si l'on pose p sin 0 = R, R étant une variable auxiliaire, on aura

( x = lv cos ce, t R = p sin 8,

| y =-- R sin cp ; ( -sr = p cos 0.

Remplaçons d'abord x, y par R. cp en conservant ar; alors 385

<h?2 + <),/- '" d\\2 r R2 Ôf + R dR '

et l'expression proposée devient

d*J d'Y 1 <)2Y 1 ÔY dz2 " <)R2 ~ R2 cte2 " " R <?R

V est maintenant une fonction de R, f et ^, qu'on transforme au moyen des formules (2). Ou a donc

tï'Y (Ï2Y à2Y 1 d*Y 1 "Y dzz + ù\V ~ ùf + ps r)0- H

par suite, la quantité 1 3 > est équivalente à

P dp '

ff-Y 1 ^V 1 ')2Y 1 ÔY 1 r/A dps + p2 t)0- + IV ôf î dz '" R OU

Calculons en considérant Y comme une fonction de R, cp, s, que la

substitution (2) change en une fonction de co, 0, 8. Cette substitution donne

p-\/r*'+T*, tge - |;

dV dV r)p dy d0 dy K dV cos2 8

dR dp dR + d6 dR = dp" ç ^ dô ' z

dV . . dV cosO — si n 0 4- , etc.

dp dO p

S. Transformer l'expression rfac2 + dyz — ds2 ei1 introduisant les coordonnées bipolaires P, pj, distances du point uv, y) à deux points fixes F, F]. On différentie les relations

p2 = (x — af -f- //-', Pl2 = {x 4- a)2 H- ?/2 :

prfp = {x — x) dx -j- ydy, p/^Pi = (a? + d) dx -\- ydy.

Tirant de là dx et dy, on trouve

dS ^4p?1 4P*Pï-(p8 + ?ï-4«r