Théorème. — Soient des séries convergentes

Cj +c2 -f-Cj + ... , (3)

ayant respectivement pour sommes A, 1>, C. La série

(a, + bx — Cl) + (a., -\~h., — c,) [-{a., | ^3 — c3)-f ... (4)

est convergente et n pour somme A | B — C.

En effet, si An, 1>„, C„, ln sont les sommes des u premiers termes des séries (1), (2), (3), (4), on a

Un = An 4- Bn — Cn.

Quand /i croît indéfiniment, les sommes An, Bn, On tendent vers des limites déterminées A, B, C; donc Un a pour limite A + B — C.

Pour fixer les idées, nous avons considéré trois séries; mais il est facile de généraliser.

Remarque. — Le théorème peut être en défaut quand on ajoute, terme à terme, des séries en nombre infini.

Multiplication de deux séries.