Théorème. — Soient

a0 4- a, |-rt.2 -|- ... (1)

h + ô, +bt -f ... (2)

deux séries convergentes, dont lune nu moins est absolument convergente (9). Si on leur applique la règle de la multiplication algébrique, on obtient une nouvelle série convergente, ayant pour somme le produit des sommes des séries (I) et (2). Les 1er mes de la nouvelle série sont

e0 — cIqIjq,

Cj = ajjl 4- afio,

c2 = a0bt +albl 4- a2b0,

cn - aQbn -\- a^n i 4- a2bn 2 -\- ... |- anb0,

Pour démontrer cette proposition, posons

An — a0 \ ax 4 a.: j ... 4 atu

Bn = ^0 +^i + K + ^ "Mo,

&1 indiquons le produil A„ !>,, :

a0 -|- a, |- a, | ... h an *o h*, I -''•• +...'+ 6n

+ flfo*i + rti/vi !" ••• h «n-i*i -h «n*]

a0b2 + ... -f- an-2*2 4- «n-i*2 ! «n*2 (T

C0 + Cj + C2 4- ... -f C,, |- ...

Les (n f- 1) premières colonnes du tableau (T) sont respectivement égales à c0, cl5 c2, • ••, cn. Complétons ce tableau de manière (jue les n dernières colonnes reproduisent cu u cn-| 2, ..., c2n. A eet effet, nous ajoutons à ces colonnes les termes

"n ■ i*o h «nH 2*0 f ... !" «2n*0

et nous écrivons les nouvelles lignes

Désignons par // l'ensemble des termes (U), par v l'ensemble des termes (V), par (\,n la somme c0 4- c1 -f- ... j- c-jn ; alors

C2n — AnBn + w -f- v.

Le module d'une somme étant égal ou inférieur a la somme des modules de ses parties, nous aurons

mod u < mod >an\i 4~ «nH 2 4" •••«2n)- niod />0 4- mod (an+, j- . . f- a2n-i). mod bï — ... 4- mod aa | ! . mod ^n-i-

modr <mod(flfl h «i I ••• h «n-i) mod . 6n+1 4- mod (a0 -\ a] -\- ... h «n-2) mod . b ... 4- mod «„ . mod ^2„.

Les séries

aQ \- a{ |- a, -\- ....

niod b0 -j- mod bt -\- ... 4- mod b2 -\- ...,

étant supposées convergentes, on peut trouver deux nombres fixes, y. et [3, tels que pour toutes les valeurs de ni,

mod (a0 + al -f ... -f- am) < a, mod &0 + mod b^ -\- ... -\- mod bm <^ p.

On peut aussi trouver un nombre /i' tel, que pour toutes les valeurs de n supérieures à n' et quel que soit m, on ait

mod (an+1 4- an+2 -f ... 4- «n .,m) <

mod &n+1 4- mod 6n^2 |- ... 4- mod bn t .,„ < Il résulte de là que pour n > n\

mod u < rj [mod VH mod 6> -h ... 4- mod &n i] <

af,j a 4~ p

mod v <a [mod bn^.i -\- mod ôn+2 -f- ••• 4" mod ^n] <

par suite mod (C2U — AnBn) < mod m 4- mod v < e.

Comme £ peut être pris aussi petit qu'on veut, on a

lim(C2n— AnBn) = 0;

donc C2n a pour limite AB.

On verrait de la môme manière que la différence 0^+, — AnBn tend vers zéro; donc C2n-H a également pour limite AB.

Exponentielles imaginaires.