Définitions. — Les formules

sm x = x —

l'IIS .r — ] 4-

s'appliquent à toutes les valeurs réelles de x . Les trois séries sont encore convergentes quand on remplace x par une imaginaire /• (cos 8 |- isin 8) : la série (1), par exemple, devient

1 h r (cos 8 -[- i sin 8) |- « (cos 28 -f- i sin 20] |- ... ,

et les modules de ses termes constituent la série convergente

Cela posé, par définition, les expressions

cx^'\ sin (x -\- yi), cos (se \-yi)

sont les sommes des séries (1), (2), (3) quand on remplace a: par x ! -yi.