Formules d'Euler. — D'après ce qui précède

./yi v /y* S 1 /Y» 4

* =1+^-T.2-TX3+ 1. 2.3.4+-

'1.2"1" 1.2.3. 1 ""7 Al " "1.2.3^ "\ '

La partie réelle de exi est la série (3) ; le coefficient de /, la série (2). Par conséquent

a^ = cos x 4- i sin x ; (4)

le change ment de x en — x donne

Ces formules ramènent les exponentielles cxi, e~xi aux lignes trigonomé triques. Inversement, les fonctions circulaires s'expriment au moyen des exponentielles exi, e~xi; car des égalités 4 et 5) on tire

c?xi 4- e~xi . <?** — e Xl

cos x = - •• sin ./' = i

,,Ni g-Xi

/(c'xi+C-si)