Théorème. — Si" une série entière

c.s7 convergente pour une valeur z = z, ayant pour module p, e//e es/ convergente pour tontes tes videurs de z ayant un module plus petit que p.

En effet, la série

ci0 + «1-1 + «2^1 + «3*1 + ■••

étant convergente, le module du terme général anz? tend vers zéro quand n croît indéfiniment; il reste doue inférieur à un nombre fixe A .

La série (1) peut s'écrire :

a0 4- «!*, f £ ) -| «Qz\( -z j 4- «a5i( 1 j + • • (2)

Soil r le module du quotient ] cl supposons mod z mod ~,.

de sorte que r 1. Les termes delà série (2) ont respectivement des modules moindres (jue les termes de la progression

décroissante

A 4- Ar -|- \r' + Ar3 h ...

La série (1) est donc convergente pour z < ~, ; elle est môme absolument convergente.

401. Remarques. — I. Le théorème précédent peut s'énoncer ainsi : Si, pour une valeur de z ayant pour module p, les modules des fermes d'une série entière, à partir d'un certain rang', sont moindres qu'un nombre déterminé, la série sent convergente pour toute valeur de z ayant un module inférieur à p.

1T. Quand une série entière est divergente pour une valeur de z ayant pour module p,' elle sera divergente pour toute valeur de z ayant un module ox supérieur à p.

Car si elle était convergente quand mod z — pM elle serait convergente quand mod z = p, puisque p < pP