Cercle de convergence. — D'après ce qui précède, une

série entière est convergente pour les valeurs de z dont le module est inférieur à une certaine limite R.

Traçons deux axes rectangulaires OX, OY; de l'origine comme centre, avec le rayon R, décrivons une circonférence A. Pour les valeurs de z qui correspondent aux points (*) intérieurs au cercle A, la série est convergente ; pour les points extérieurs, elle est divergente. En général, il y a doute pour les points situés sur la circonférence.

Le cercle A se nomme cercle de convergence. Si la série n'est jamais convergente, le rayon de A est nul ; si elle est convergente pour toutes les valeurs de z, le rayon de A est infini.

Considérons par exemple la série

Elle est convergente pour les valeurs de z dont le module es!

(*) La valeur z = x 4 Y* est représentée par un point ayant pour abscisse s , pour ordonnée y.

Xeuberg, An inf.y i. 25

intérieur à l'unité; divergente pour celles dont le module est plus grand que l'unité. Pour la valeur z — eos » -f- i sin cp dont le module est l'unité, la série devient

1 -f (eos » -\- i sin cp) -\- (eos 2 'f -f / sin 2 <p) -f ... ;

elle n'est pas convergente, car le terme général ne tend pas vers zéro.

Le cercle de convergence de la série (a) a doue pour rayon l'unité.

403. Séries équiconvergentes. — La variable z = x ■ |- y/' étant représentée par un point M dont les coordonnées rectangulaires sont x et y, il arrive souvent (pie l'on considère seulement une portion du plan xy (ou même une ligne) comme accessible au point M. Cette portion du plan (ou cette ligne) forme alors le domaine ou le champ de la variable. Par exemple, si z ne prend (pie les valeurs réelles comprises entre les nombres réels n et b, son domaine est un segment limité de l'axe des x.

Vue série

dont les différents termes sont des fonctions continues de la variable z, est dite équiconvergente ou uniformément convergente dans un certain domaine, si le module du reste

rn = Wn-h -f «n+2 + wn+3 4" •••

est moindre (pie tout nombre donné e, pour les valeurs de ;? supérieures à un nombre fixe v, indépendant de la valeur particulière de z.

Telle est la série

pour les valeurs positives de z ; car le reste

et l'on peut trouver une valeur de ;î, indépendante de z, telle que

(n+ir (»4 2)2 + '" '

et cette inégalité a lieu a fortiori pour les valeurs de n plus grandes.

Au contraire, la série

qui est convergente pour toute valeur réelle de z, n'est pas uniformément convergente dans un intervalle comprenant la valeur

z — 0; car

et on ne peut pas fixer n de telle sorte que /•„ soit inférieur à i, z étant aussi voisin de zéro qu'on voudra.