Théorème. — Une série

F(z) = ux 4- u2 4- ^3 4- ... ,

dont les termes sont des fonctions continues d'une variable z et (jni est uniformément convergente dans un certain domaine, est elle-même une fonction continue de z dans ce domaine.

Posons

f{z) = ul "f Hl 4" ••• + «ni ?(~) = ^n |-1 4" Wn | 2 -}- .,.,

de sorte que F(«) = /'(-) f '•?(-)•

Soient z, c, deux valeurs appartenant au domaine; on a

F(*,)-F(*) = A*i)-A*) h ?(-,) - ?(*)• Par hypothèse, on peut choisir ;i suffisamment grand pour que les restes <p(s), ?(^i) aient une valeur moindre que - ; alors

mod^J —'KOI < ~3*

D'autre part, f(z) contenant un nombre déterminé de ternies, qui sont des fonctions continues de z, on peut choisir le module de la différence zx — z suffisamment petit pour que l'on ait

mod[/K) -/"(*)] <-.

Dans ces conditions,

modlFl^j-F^I < s; ce qui démontre le théorème.

4-05. Corollaire. — Une série entière est une fonction continue dans le cercle de convergence.

Soit R le rayon de convergence de la série

a0 + axz -f- a2z2 + a3z2 -f- ...

Posons R' = R — s, i étant un nombre positif aussi petit qu'on veut, et désignonsfpar A0, A,, A2, ... les modules des coefficients

a0, au a. Si nous attribuons à z une valeur de module r égal

ou inférieur à R\ le module du reste de la série sera moindre que

An^ + An+lr"+1 + ... <AnR'n + An+1R'»+i -f ...

Or, on peut trouver une valeur de n à partir de laquelle le second membre de cette relation est moindre qu'un nombre donnés, quelque petit qu'il soit. Cette valeur étant indépendante de r, la série est équi convergente dans le cercle de convergence et par suite continue.