Théorème. — Deux séries entières

«o -Mi

K -f-M -fA*2 -fM3 + .. ,

qui ont des sommes égides pour toute valeur de z qui assure ta convergence de ces séries, sont identiques.

Supposons ces séries convergentes pour toute valeur de z ayant un module inférieur à R. Si l'on y l'ait z — 0, l'égalité des sommes des deux séries donne a0 — b(r Tl en résulte

z(a} -f a,z -\- a3z- 4- ...) = z{b{ -\- btz -\- &3s2 -f- ..,) ;

en divisant par z supposé différent de zéro, on obtient

ax -\-.a.,z -|- a3z2 -f- .. = b{ + bzz -\- b3z2 -\- ...

Faisons tendre z vers zéro; les deux membres de l'égalité précédente étant des fonctions continues de z, ont pour limite a, et blt valeurs qui correspondent à z = 0; donc ax = bx.

En continuant ainsi, on trouve a, = b2, aa = b3, ...

407. Dérivée d'une série. — Soit F{x) une fonction réelle continue dans l'intervalle (o, x) ; si toutes ses dérivées successives sont continues dans le même intervalle, on a, par le théorème de Mac-Laurin,

F(*) - F(o) + a*» + f., F"(o) + ... + , f „FW(o) \- ... (1)

Le même théorème peut aussi être appliqué à F($e); donc

F'H-P'(o) l-.rKVl-1-^F»-!-... 1-1.,;';''(J'IJF" V h- (2)

On voit que dans ce cas, on peut dériver la série du second membre de (1) et que la nouvelle série est le développement de F'(jc).

11 peut arriver qu'une l'onction soit développable en série convergente, sans que les dérivées de ses termes forment le développement, en série, de la dérivée de cette l'onction. Ainsi, la série

sin x -f- sin 2x -{- - sin \x -j- - sin Sx -\- ... ,

est convergente pour toute valeur réelle de x, et les dérivées de ses termes forment la série

cos x -j- cos 2x 4- eos 4x -f- eus Sx -f- ••• ,

qui n'est pas convergente, puisque ses termes ne tendent pas vers zéro.

Pour le moment, nous ne poussons pas plus loin l'examen de la question que nous venons de poser.

Formule de Lagrange.