Soit y une l'onction de x et a, définie par l'équation

y = a -\rxf(y). (1)

Proposons-nous de développer y, et plus généralement une fonction F(y), en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x.

Si l'on remplace y par sa valeur tirée de l'équation (1), F( r se change en une certaine fonction ®(x), que nous supposons

développable en série par la formule de Mac-Laurin. Ce développement est

?(*>) - fio) + *?'(<») + —»>) + j- J3- ?» + - ;

nous l'écrivons ainsi

F(y) = F(.y)0 + ooD^{y)0 + j^DiF^ -f ~ 3 DÎFiy)0 + ..., (2)

où Dx, Dx, Dx, ..., indiquent les dérivées sueeessives de F(y) par rapport à x ; l'indice 0 rappelle que Ton l'ait x — 0 dans ees dérivées.

Le calcul des dérivées de F(y) est assez pénible. Lagrange l'a simplifié en substituant aux dérivées par rapport à x les dérivées par rapport- à a.

L'équation (1) donne

V*y - /t/y) 4- ^7"i//)I,*//> I W/ = 1 + */*(y)Day ; d'où Dxy = --— , 1 I)ay = t— s n;

donc D«y = /•(y)Da//. (3)

Si l'on multiplie l'égalité (3) par F'(y), on trouve F'(?/)Dxy=Ay)F%)Da?/, ou DxF(y) - A'y)DaF(y). (4)

Dérivons les deux membres de (4) par rapport a a ; nous

aurons

DaDxF(y) = Da[r.t/)DaF(j/)];

ou DfDaFfy) = =D.[f(y)DaF(y)].

Dans cette relation, DaF(y) est une fonction quelconque de y, qu'on peut remplacer par f^(y)T>a¥(y), fv(y) désignant ici la puissance pe de fi y) ; ce qui donne

DJ/P(y)DaF(y)] Da[^+i(y)DaFCv)]. (5)

Ainsi, pour dériver par rapport à x jz/jc expression de lu forme fp(y)DaF(y), /'/ suffit d'ajouter une unité à l'exposant de t'(y) et de dériver le résultai pur rapport ù a.

Cela posé, la formule (4) fait connaître la première dérivée de F (y). Si nous la dérivons par rapport à x, il vient

DiF(y) = ■ DJ/ty)DaF(y)] ;

en appliquant au second membre de cette égalité la règle pr< dente pour p = 1 , nous obtenons

DiF(y) = DJ/*(y)D.F(y)].

On déduit, de cette relation,

D3xF(y) = l)xI)a:/%)DaF(:.y)! - DaDx[/%)DaF(y)];

puis, en appliquant la formule (5j pour p = 2,

D|F(y) -DilA^D.F^)!.

Ainsi de suite. En général

I)^(y)-D»-1[r(y)l)aF(^/)J. (6)

Il faut maintenant chercher les valeurs des dérivées de Y y pour x = 0. D'après l'équation (1), à x = 0 correspond la valeur y •= a; comme le second membre de (6) ne renferme que des dérivées par rapport à a, il est indifférent de poser x = 0 après ou avant la différentiation par rapport à a. Par conséquent,

DïF(y)0 = DS-1|/n(a)DftP(a)];

ou, puisque le second membre ne renferme que la variable a :

DSP(y)o == D"-ï[/>)F'(a)].

Portant ces valeurs des dérivées de F(y) dans l'égalité (2), on aura la formule cherchée

Piy) = F(a) + «A«)B"(«)+ 1^I»[/»F'(« ! + j J3 D'V3(«jF'(«)l -f ... Eu particulier, si l'on fait F(y) = y, on trouve

y = « + Xf\a) -f - gD/"2 (a) + j^rg D 7» -f- .. . (7)