MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

410. Cette méthode donne rapidement beaucoup de séries remarquables ; mais elle manque de rigueur, à moins qu'un raisonnement préalable ne légitime la forme de développement adoptée.

La formule de Taylor résulte immédiatement de l'emploi des coefficients indéterminés. En effet , si l'on admet le développement

F(# -}-/*)--= A„ | A,// hA2A2 1- A3/r -f...,

on trouve, en dérivant par rapport à h,

F' (a? -M) = A, -f 2A£/i |-3A3à2 | ..., F"(.r h^) = 2A2 + 2.3A3^ + ..., F"'(so -i- A)=2.3A3 h 2.3.4A4/2 |- ...;

puis en Taisant h — 0,

F(œ) - A0, F\œ) = AM F»(a?) 2A2, F'"(.z) == 2.3A3, . ..

411. Série de Burmann- — Soit à développer K(v) en série ordonnée suivant les puissances de y(x). Xous posons

Si nous remplaçons A' par une racine a de l'équation o(x) = 0, nous aurons F(a) = A0. Dérivons maintenant l'égalité (1); la dérivée du second membre étant divisible par ©'(#), on peut éerire

F'(Vl r~r = Al + 2A,»(af) + 3AI?«(fl?) + ...

F'(x) Pour abréger, nous représentons ,: - - par F,' A'), de sorte que

si nous taisons x = a, eette égalité donne Fj(a) — AP

Dérivons encore l'égalité (2); en posant , ' = F,,(a), on

trouve

FJjc) = 2\, -f 2. 3A?(.r) + 3 . 4A4*S(*) -f .. ;

d'où F, (a) - 2A,.

Ainsi de suite. En résumé, si l'on l'ait

1 <p'(a?) -v ; <p'(a?) JV ' 'f(x-)

on a

A0==Fi«), A1 = F1(«), A^—S A8=--|-^ "' ' par conséquent

F(«) = F(«) I- F ,(«)?(■»•) + yl"' »'(*) + fo''. ï'W + ■■ (3J En particulier, si l'on suppose F(a) = a, on trouve

d'où le développement de x suivant les puissances de »(.r) :