SI 11 X

A0 | \xm | \zr,r- -j- .

1 — 2w cos x -|- wi2 Multiplions les deux membres de cette égalité par

1 — 2m cos x -j- w&2 ; le second membre devient

— 2A0 cos x

— 2At cos x

— 2A2 cos ./• + A, I

Connue il doit être égal à sin x pour toutes les valeurs de ;//,

A(1 — sin x,

A] — 2A0 cos x = 0,

A2 — 2Aj cos x -f- A0 = 0,

A 3 — 2A2 cos a? + Aj = 0,

Les deux premières de ces égalités donnent

A0 = sin a.', Aj = sin 2x ;

les suivantes sont de la forme

An = 2An i cos x — An 2-

Or les sinus d'arcs en progression arithmétique de raison x sont liés par la même loi de récurrence :

sin [a -j- x) — 2 sin a cos x — sin (a — x) ;

donc, puique les premiers termes A0, A, sont égaux à sin a\ sin 2a*, on a An = sin (n -j- \)xt et le développement cherché est

sin x |- m sin 2x -f- m2 sin ox -\- m3 sin 4a? -j- ... .

On trouve de la même manière

cos x — m 1 — 2m cos x + wts

cos a- -j- m cos 2a? -f ^2 eos 3a; -j-

Produits infinis,

415. Définitions. — On appelle produit infini un produit composé d'un nombre indéfini de facteurs qui procèdent suivant

une loi donnée. Exemple : ( i

On désigne souvent les facteurs successifs par zz,, uz, iz3, ... et le produit des n premiers facteurs par Pn.

Un produit infini est dit convergent quand le produit Pn, à mesure que n croît, tend vers une limite finie et déterminée P, différente de zéro. Un produit infini non convergent est dit divergent.

Remarque. — Si le produit infini u^i.u^, ... est convergent, il en est de môme du produit infini iipu ^+111^2 •••> p désignant un nombre fixe. Réciproquement, la convergence du second produit entraîne celle du premier.

11 résulte de là que les premiers facteurs d'un produit infini pourraient ne pas satisfaire à un caractère de convergence; il suffit que les conditions soient vérifiées à partir d'un certain rang.

416. Théorème. — Dans tout produit infini convergent, te facteur générât tend vers l'unité.

En effet, puisque Pn et Pn \ ont une même limite finie P, leur rapport un a pour limite l'unité.

417. Remarques. — I. La condition lim un = 1 est nécessaire; mais non suffisante. Ainsi, elle se vérifie dans les produits

dont le premier a pour limite zéro et dont le second croit tant qu'on veut.