f-«i)(l -}- *2)(l A- y-, • est convergent, si la série

est absolument convergente.

Nous examinons successivement trois cas.

1° Si tous les nombres oc sont positifs, écrivons

Pn = l-j-Saj f- Eaia2 | ... | SajCtg ...*„] I '/,-y., ..an, (:})

où le signe sommatoire - porte sur les n quantités oq, y, an.

Il résulte d'abord de là que Pn > 1 -f- Saq; doue si la série (*2) était divergente, le produit (1) le serait aussi.

Supposons donc la série (2) convergente et représentons par s,, la somme de ses n premiers termes, par .s la limite de .s,,. On a (*)

•S'il > 1.2.. p la,a2...a1M d'où Sa,a2...ap < " •

Il résulte de là et de l'égalité (3) :

Pn < 1 f , h FS "h -4--i < <"■

Doue le produit Pn qui croît avec n et reste inférieur à un nombre fixe, tend vers une limite finie. 2° Considérons maintenant le produit

où les nombres « sont positifs et forment une série convergente. Pour ramener ee cas au précédent, observons (pie

Comme les nombres a tendent xer^ zéro, ils restent, à partir d'un certain rang, plus petits qu'un nombre fixe k, plus petit que l'unité. Si cela a lieu à partir de a(1, la série

1 — ap 1 — ap|i I — ap+2

dont les termes Font moindres que leurs homologues de la série convergente à termes positifs

(*) Le produit de p polynômes égaux à sq |- *2 -{- . . . a„ renferme un même produit de p facteurs i différents, autant de t'ois que ce produit admet de permutations de ses facteurs.

— :us —

est elle-même convergente. Doue tend vers nue limite finie,

et il en est de même de P„.

3° Enfin, si les quantités a sont les unes positives, les autres négatives, représentons par |3lt (3.,, ... celles qui sont positives e1 par — Yi > — Y 2 » •• ^es autres. La série x, -f- oc2 -h ••• étant absolument convergente, les deux séries !ix ~j- [1, -[- ..., Yi + Y* -f- ••• sont séparément convergentes. Par conséquent, si l'on suppose

1',, = (1 + PO (1 + h) - (1 + ?,.)(! - T.) (1 - V,0 ... (1 - ï,), où /> -|- (j — n, les deux produits

(1 + P,)(l + P2) ...(1 + Pp). (1 -Ti)(l — Ti) - (1 -Y,)

tendent chacun vers une limite lorsque;? croît sans cesse; il en est donc de même de Pn. (*)

Remarque. — Le produit (1 -f- *i) (1 h k») ••• es* Qit absolument convergent quand la série al -\- a2 -f- ... est absolument convergente. On peut démontrer (pie la limite d'un tel produit est indépendante de l'ordre des facteurs.